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Data una funzione ,
derivabile su di un insieme E,
possiamo pensare
alla sua funzione derivata come ad una nuova
funzione
che, eventualmente, potrà essere a sua volta derivabile, magari soltanto su di un sottoinsieme di E .
La derivata della derivata prima si chiama “derivata seconda” e si indica con uno dei simboli:
A sua volta, la derivata
seconda , vista come funzione, potrà eventualmente
essere derivabile
e in tal caso si parlerà di derivata terza; e così di seguito con la derivata quarta, la derivata quinta, ecc.
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Esempio 2
Il polinomio di 4° grado considerato ha tutte le derivate di ordine
superiore al 4° uguali a preso un qualsivoglia polinomio di grado n, si vede che, ad ogni derivazione, esso si abbassa di un grado, perciò avrà come derivata di n-esimo ordine una costante, e tutte le derivate di ordine maggiore di n nulle.
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Nella figura qui a fianco sono rappresentate la nostra funzione
Laddove la derivata prima f ’(x) è positiva (risp.: negativa), la retta tangente al grafico della f(x) è in salita (risp.: discesa) e quindi la f(x) ha un andamento crescente (risp.: decrescente)
Figura: a destra dell’ascissa x=3/4 la f ’ diventa positiva … … e simultaneamente la f
diventa crescente Invece a sinistra dell’ascissa x=3/4 la f ’ è negativa … … e simultaneamente la f è
decrescente
Nella seconda figura sono rappresentate la nostra funzione e la sua DERIVATA SECONDA
La derivata seconda è la derivata della derivata prima; allora, laddove la derivata seconda è positiva (risp.: negativa), la derivata prima è crescente (risp.: decrescente), e dunque il coefficiente angolare (=inclinazione!) della retta tangente al grafico della funzione f(x) cresce (risp.: decresce), al crescere dell’ascissa … ma ciò comporta che la forma del grafico della f(x) sia concava
Figura: a sinistra
dell’ascissa 0, e a destra
dell’ascissa la f ’’
è positiva … e simultaneamente la f è
concava Invece fra l’ascissa 0 e l’ascissa la f
’’ è
negativa … e simultaneamente
la f
è convessa
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f ’ > 0 significa che il coeff. angolare della tangente al grafico della f è >0, quindi che la retta tangente è in salita, |
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quindi che la stessa f è CRESCENTE |
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f ’’ > 0 significa f ’ crescente, quindi significa che spostando l’occhio da sinistra a destra …
il coeff. ang. cresce, l’inclinazione cresce, la
funzione f è CONCAVA
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