1)     Il dominio è tutto  

2)      quindi l’intersezione con l’asse  y  è il punto (0, 0)

 quindi le intersezioni

 con l’asse x

 sono i punti (0, 0) e (1,0)

3)      (schema sottostante)

Linea continua = espressione positiva

Linea tratteggiata = espressione negativa

Pallino vuoto = espressione nulla

4)     

… e dalle informazioni  1), 2), 3) e 4) si trae la figura qui a destra  

Dal “grafico probabile” si desume con certezza

che deve esserci un punto di minimo relativo,

con ascissa compresa fra 0 e 1.

Sarebbe molto interessante riuscire a determinare

in modo PRECISO le coordinate di questo punto.

Osserviamo che, nel punto di minimo,

la retta tangente al grafico è orizzontale,

quindi ha coefficiente angolare uguale a 0;

perciò

se noi riuscissimo a trovare una formula che, per ciascun valore di x, fornisca

il coefficiente angolare della retta tangente alla nostra funzione nel punto di ascissa x,

saremmo a posto, perché, per trovare la x del punto di minimo,

basterebbe poi risolvere l’equazione ottenibile uguagliando a 0 l’espressione trovata.

Affrontiamo questo problema

dapprima dal punto di vista generale.

Consideriamo (vedi figura qui a fianco)

una funzione  ;

sia x un’ascissa fissata;

indichiamo con P il punto del grafico, avente ascissa x.

Le coordinate di P saranno dunque .

La retta tangente in P è definita come

la posizione limite di una retta secante PQ

(con Q punto sulla curva, distinto da P)

quando il punto Q viene portato vicinissimo a P.

Indichiamo l’ascissa di Q con  

(essendo h un incremento

che potrà essere positivo o anche negativo:

si parla di “incremento algebrico”).

Le coordinate di Q saranno allora  e avremo:

·         coefficiente angolare della secante PQ =

=  

·         coefficiente angolare della tangente t  =

=  

q       Il rapporto  

      si dice “rapporto incrementale” della funzione  f,

      relativo al punto x e all’incremento h.

      Esso è uguale al coefficiente angolare della retta secante che passa per i punti

       e .

q       Il limite del rapporto incrementale, al tendere a zero dell’incremento h:

       (ammesso che esista e sia finito)

      si dice “derivata” della funzione  f  nel punto x, è indicato con il simbolo ,

      ed è uguale al coeff. ang. della retta tangente al grafico della funzione nel punto .

OSSERVAZIONI:

a)    se il limite non esiste, si dice che “la  f  non è derivabile nel punto x”

b)   se il limite esiste, ma è infinito, si dice ancora che “la  f  non è derivabile in x”,

ma contemporaneamente, se la funzione  f  è continua nell’ascissa x,

si dice anche che “la  f  ha in x derivata infinita”.

La contraddizione sotto l’aspetto linguistico è evidente, ma è entrata nell’uso

(anche perché, effettivamente, accettarla comporta alcuni vantaggi).

Evidentemente,

♪      il caso a) si verifica se e solo se il grafico della  f  non ammette retta tangente in P(x,  f (x))

♫      mentre il caso b) si verifica se e solo se la posizione limite della retta secante PQ è verticale;

qui, tuttavia, la posizione limite della retta secante viene chiamata “retta tangente”

soltanto qualora la funzione  f  sia continua nell’ascissa x.

q     ESEMPIO:  calcolare la derivata della funzione   nel punto .

Il coeff. ang. della retta tangente alla curva di equazione  nel punto  vale dunque  !

q     Esempio più generale:

calcolare la derivata della funzione   nel generico punto di ascissa x.

In definitiva: .           

Il coeff. ang. della retta tangente alla curva   nel punto di ascissa  vale dunque !

Perciò, ad esempio, si avrà:   ,  ecc. ecc.

q     ALTRO ESEMPIO. Calcolare la derivata, nel generico punto x, della funz.  

Abbiamo dunque dimostrato che  

1)    Osserviamo che tale derivata   si annulla quando ,

insomma: quando   (multipli dispari di  ).

Ma ciò va perfettamente d’accordo col fatto che pensando al grafico della funzione ,

i punti in cui la tangente alla curva è orizzontale sono quelli in cui la funzione

tocca il suo massimo oppure il suo minimo, ovvero proprio i multipli dispari di .

2)    Osserviamo inoltre che ,  il che significa che

la sinusoide  attraversa l’origine con inclinazione di coeff. ang. 1 quindi di +45°.

3)    Analogamente si ha:  ,    ecc. ecc.

con ovvia interpretazione in termini di inclinazione del grafico della  .

ESERCIZI (alcune risposte alla fine)

1)       Dimostra che la derivata della funzione , nel punto , è uguale a 5

mentre nel punto  è uguale a 80 e nel punto  è uguale a 405.  A cosa si devono valori così alti?

2)       Dimostra che la derivata della funzione , nel punto di ascissa x, è .

Tale derivata si annulla quando : cosa possiamo dedurne, riguardo al grafico della ?

3)       Dimostra che la derivata della funzione , nel punto di ascissa 2, vale .

4)       Dimostra che la derivata della funzione , nel punto di ascissa x, è .

Tale derivata non si annulla per nessun valore di x, anzi: è negativa per ogni valore di x.

E infatti il grafico della  ha la caratteristica di essere …

5)       Dimostra che la derivata della funzione   è  .

Successivamente, analizza la funzione , determinando:

·         il dominio;

·         le intersezioni con gli assi;

·         la “positività”, cioè i valori di x per i quali la  y corrispondente è positiva

·         i limiti ai confini del dominio

·         i valori di x per i quali la retta tangente al grafico è orizzontale.

Traccia un abbozzo di grafico per la  e verificalo con software matematico)

Alcune risposte: 1) valori molto alti perché la derivata esprime il coeff. ang. della retta tangente quindi esprime

l’inclinazione del grafico, e questo grafico si “impenna” molto rapidamente, al crescere di x   2) ne deduciamo che

il grafico ha per x =0 retta tang. orizzontale. In questo caso, tale tangente orizzontale viene attraversata dal grafico.

4) … sempre decrescente (retta tang. con coeff. ang. <0 vuol dire tangente in discesa, quindi funzione in discesa).