2) DERIVABILITA’ E CONTINUITA’
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TEOREMA: se una funzione è derivabile in un punto, allora è continua in quel punto. Schematicamente:
(ho preferito usare qui il simbolo x0 al posto di x per render meglio l’idea di un’ascissa FISSATA. In questo paragrafo il simbolo x ritorna invece ad indicare un’ascissa VARIABILE).
Ipotesi: esiste ed è finito il Tesi: |
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DimostrazioneL’ipotesi è che esista finito il Poniamo dunque e avremo che Adesso possiamo scrivere:
Dall'ultima uguaglianza, passando al limite per
C.V.D.
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OSSERVAZIONE IMPORTANTE: il teorema non è invertibile, cioè non è vero che la continuità in un punto implichi per forza la derivabilità in quel punto.
Due controesempi:
♪
è continua nell’origine ma non è ivi derivabile, perché “ha derivata infinita”
♫
non è derivabile nel punto perché il rapporto incrementale in tende a due limiti distinti a seconda che l’incremento tenda a
Insomma: la continuità in un punto è condizioneNECESSARIA, ma NON SUFFICIENTE,per la derivabilità in quel punto.
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3) INFINITESIMI, INFINITI; “SCRITTURA FUORI DAL SEGNO DI LIMITE”
q
Della quantità , introdotta nel Teorema
precedente, si può dire che è “un infinitesimo”.
In Analisi
matematica il termine “infinitesimo” viene spesso utilizzato per
indicare
“una
funzione o quantità che tende a zero, nel contesto di cui ci si sta occupando”.
Altri esempi:
♪
la funzione è un infinitesimo per
♪
e
sono infinitesimi per
♪
è un infinitesimo per
q
Analogamente, viene usata la parola "infinito" per
indicare
una funzione o quantità che
tende all'infinito, nel contesto di cui ci si sta occupando; es.
♫ è un infinito per
♫ è un infinito per
♫ è un infinito per
♫ è un infinito per
q
Per “scrittura fuori dal segno di limite” si intende la
possibilità, nel caso si abbia
,
di esprimere la funzione come somma del limite più un infinitesimo:
essendo
un infinitesimo quando
.
In effetti, posto ,
si ha banalmente
e
(in pratica, la quantità che compare nella scrittura non è altro che la
differenza
).