Consideriamo la funzione

                                                              .

                                                                                          Avremo

Il grafico della funzione è costituito da

“due archi di parabola

che si tengono per mano”.

Nel passaggio dalla sinistra alla destra dell’ascissa x = 1, cambia l’espressione analitica della funzione:

tale espressione è   con  , diventa invece   con .

Il brusco cambiamento di espressione determina un altrettanto brusco cambiamento

nell’inclinazione della curva. Si dice che il punto P, di ascissa 1, è un “punto angoloso”.

La curva, per via dell’ “angolosità”, NON ammette retta tangente

nel punto P(1,1) in cui si passa da un’espressione all’altra.

Potremmo però dire che,

q        se consideriamo soltanto la parte del grafico che si trova “da P verso sinistra”,

avremo una retta tangente in P con una certa inclinazione;

q        se invece consideriamo soltanto la parte di grafico che va “da P verso destra”,

avremo UN’ALTRA retta tangente con un’altra inclinazione.

Per questo motivo, nella figura abbiamo preferito disegnare solo due SEMIrette,

la semiretta t₁ “tangente in P verso sinistra” e la semiretta t₂ “tangente in P verso destra”.

Quali saranno i coefficienti angolari di queste due semirette?

Per rispondere, osserviamo che

q        t₁ può essere pensata come la posizione che una semiretta secante,

con origine in P e passante per un altro punto Q del grafico, situato A SINISTRA di P,

tende ad assumere quando Q viene fatto tendere a P;

q        e analogamente, t₂ può essere pensata come la posizione limite di una semiretta secante PQ,

con Q situato sul grafico, A DESTRA di P, e fatto tendere a P.

E’ allora evidente che il coefficiente angolare di t₁ (“semitangente in P verso sinistra”)

potrà essere determinato calcolando il

mentre il coefficiente angolare di t₂ (“semitangente in P verso destra”) coinciderà col

Si parla, in casi come questo, di

q        “rapporto incrementale sinistro” e “derivata sinistra”,

q        “rapporto incrementale destro” e “derivata destra”.

 Sia data una funzione , e un punto  nel quale la funzione sia definita.

q        Si dice “rapporto incrementale sinistro” della  f (x)  in , l’espressione

  con  

q        Si dice “rapporto incrementale destro” della  f (x)  in , l’espressione

  con  

q        Se esiste finito il ,

esso viene detto “derivata sinistra” della  f (x)  in , e indicato con  

q        Se esiste finito il ,

esso viene detto “derivata destra” della  f (x)  in , e indicato con  

E’ conseguenza immediata della definizione di “derivata” il teorema seguente:

f (x)  è derivabile in  se e solo se ammette, in ,

tanto la derivata sinistra quanto la derivata destra, e queste sono uguali fra loro:

Ritornando ora all’esempio da cui eravamo partiti:

avremo:

NOTA 1  Qui per il calcolo di  utilizziamo l’espressione , che vale a sinistra dell’ascissa 1,

                  perché, essendo h negativo,  si trova appunto a sinistra di 1

NOTA 2  Qui per il calcolo di  utilizziamo l’espressione , che vale a destra dell’ascissa 1,

                  perché, essendo h positivo,  si trova appunto a destra di 1

OSSERVAZIONE ANTICIPATRICE.

A dire il vero, quando determineremo ed impareremo a memoria

le regole per le derivate delle funzioni elementari,

di fronte ad un problema di questo tipo,

preferiremo comportarci in un modo diverso.

Ragioneremo così:

la derivata sinistra coincide col coeff. ang. che avrebbe,

nell’ascissa 1, la retta tangente al grafico della funzione,

se la funzione stessa mantenesse, anche a destra dell’ascissa 1,

la medesima espressione analitica

che è valida con , ossia  

… e discorso analogo per la derivata destra (vedi figura).

Quindi, in modo molto più rapido ed efficiente:

NOTA :  quando avremo imparato la regola per la derivata di un polinomio,

               ci metteremo un decimo di secondo a ricavare:  e   

Altro esempio

La funzione  è definita per .

Essa presenta, curiosamente, due comportamenti del tutto diversi a sinistra e a destra dell’ascissa 0: infatti è

 ;   

Da sinistra, la funzione “si tuffa” dunque nell’origine;

ma  ci chiediamo  secondo quale inclinazione avviene il “tuffo”?

Per rispondere a questa domanda, potremmo procedere come segue:

“completiamo per continuità” la definizione della funzione, ottenendo

La funzione  F (x)  è “figlia” della  f (x),  ma rispetto alla funzione “madre” ha, in più,

la proprietà di essere definita nell’ascissa 0 e ivi CONTINUA A SINISTRA.

E’ evidente che l’inclinazione con cui la funzione madre  f  “si tuffa” nell’origine, provenendo dalla sinistra,

è la stessa inclinazione con la quale fa lo stesso “tuffo” la funzione figlia F.

Calcoliamo quindi il rapporto incrementale SINISTRO della  F (x)  nell’ascissa 0, e cerchiamone poi il limite

quando l’incremento h tende a 0; insomma, andiamo a calcolare la DERIVATA SINISTRA DELLA  F (x).

Dunque:

NOTA. Quest’ultimo limite (si ha una Forma di Indecisione “infinito moltiplicato zero”)

sarà dimostrato uguale a 0 nel capitolo sul Teorema di De L’Hospital, che vedremo successivamente.

Tuttavia, dal punto di vista intuitivo, la grande rapidità con cui sappiamo tendere a zero l’esponenziale

al tendere dell’esponente a , ci fa “sentire” fin d’ora come ampiamente plausibile il risultato 0.

Pertanto, da tutto quanto visto si trae che la funzione  

si “tuffa” nell’origine, DA SINISTRA, con inclinazione di coeff. ang. 0

(tutt’altro che un tuffo “di testa” quindi ! … un tuffo “orizzontale”, invece!),

 come un grafico tracciato con software matematico potrebbe confermare  .

OSSERVAZIONE

Si poteva giungere alla stessa conclusione anche calcolando il  

Ma su quest’ultimo discorso ritorneremo quando, più avanti, tratteremo il “Criterio sufficiente di derivabilità”.