7)  TEOREMI SULLE OPERAZIONI CON FUNZIONI DERIVABILI

 

1)

Se due funzioni  e  sono derivabili in uno stesso punto x,

allora anche la loro somma  è una funzione derivabile in quel punto,

e la derivata della funzione somma nel punto x è uguale alla somma delle derivate,

nello stesso punto, delle funzioni addizionate. Brevemente:

 

 

La derivata della somma di due funzioni derivabili esiste ed è uguale alla somma delle derivate:

 

 

Altri modi di schematizzare il teorema possono essere:

,       

 

 

Dimostrazione

 

 Esempio:  

2)

 

La derivata del prodotto di una costante per una funzione derivabile

esiste ed è uguale al prodotto della costante per la derivata della funzione:

 

 

Altri modi di schematizzare il teorema possono essere:

 (se c è una costante ed f una funzione);    

 

 

La  dimostrazione, facilissima, è lasciata al lettore.

 

Esempio:   

 

 

Conseguenza notevole dei teoremi 1) e 2):

La derivata di una combinazione lineare di funzioni

è uguale alla combinazione lineare (ovviamente, con gli stessi coefficienti) delle derivate:

ciò si può esprimere dicendo che

“LA DERIVATA E’ UN OPERATORE LINEARE”

In simboli, possiamo scrivere:

  o anche

 

 

Esempi:     

     

   

 

 

Conseguenze notevoli del teorema 1) e del fatto che la derivata di una costante è 0 sono le seguenti:

 

Una costante additiva, nella derivazione, viene eliminata

 

 

Se due funzioni differiscono per una costante additiva, allora hanno la stessa derivata

 

 

 

3)

Se due funzioni  e  sono entrambe derivabili in uno stesso punto x,

allora anche il loro prodotto  è una funzione derivabile in quel punto,

e la derivata di tale funzione prodotto nel punto x si ottiene applicando una regola particolare. Brevemente:

 

 

La derivata del prodotto di due funzioni derivabili esiste e si ottiene con la seguente regola:

 

 

Scioglilingua:

“derivata della prima per (=moltiplicato) la seconda, più la prima per la derivata della seconda”

 

 

Altri modi di schematizzare il teorema possono essere:

;      

 

Dimostrazione

 

NOTA

Quando facciamo tendere h a zero, siamo sicuri che  

perché abbiamo supposto che la funzione g sia derivabile in x,

e un teorema noto ci assicura che

se una funzione è derivabile in un punto, allora è anche continua in quel punto.

Ricordiamo la definizione di continuità di una funzione in un punto:

 

Esempio:   

 

 

La derivata del prodotto di più funzioni derivabili

è uguale alla somma dei prodotti della derivata di ciascuna funzione per tutte le altre:

 

 

 

Dimostrazione:

 

 

 

 

Esempi:

 

q   

 

 

 

 

q   

 

 

 

 

q   

 

 

 

 

 

 

 

5)  Se due funzioni  e  sono entrambe derivabili in uno stesso punto x (nel quale sia  ),

     allora anche il loro quoziente  è una funzione derivabile in quel punto,

     e la derivata di tale funzione quoziente nel punto x si ottiene applicando una regola particolare. Brevemente:

 

 

La derivata del quoziente di due funzioni derivabili esiste e si ottiene con la seguente regola:

 

 

Altri modi di schematizzare il teorema possono essere:

;      

 

 

Dimostrazione:

 

 

NOTA. Anche in questo passaggio, come già nella dimostrazione del teorema sulla derivata di un prodotto, abbiamo

utilizzato il fatto che la derivabilità di una funzione in un punto implica la continuità della stessa funz. in quel punto.

Essendo, per HP, g(x) derivabile nel punto x,  g(x) sarà anche continua in x, per cui si avrà   

Esempio:   

 

 

 

 

Pertanto  

 

e analogamente si può dimostrare che   

 

 

6)

 

Derivata del reciproco di una funzione derivabile (e, naturalmente, non nulla nel punto considerato):

 

 

 

Dim.:   Per il precedente teorema sulla derivata del quoziente di due funzioni, avremo, considerando

             come quoziente fra la funzione costante  e la funzione :     

Esempio:  

 

q       ESERCIZI

 

q       ESERCIZI VARI (risposte alla fine):

 

1)      Per quali valori di x la retta tangente al grafico della funzione  è inclinata di +45° ?

2)      Traccia il grafico della funzione  determinandone anche il punto di massimo.

3)      Scrivi l’equazione della retta tangente al grafico della funzione  

  nel suo punto di ascissa 2.  A tale scopo, tieni presente quanto detto nel riquadro sottostante.

 

 

L’EQUAZIONE DI UNA RETTA TANGENTE

 

La Geometria Analitica insegna che

l’equazione della retta di coefficiente angolare m, passante per  è:

 

Ora, poiché la derivata di una funzione in un punto fornisce il coefficiente angolare

della retta tangente al grafico della funzione in quel punto,

l’equazione della retta tangente al grafico di  nel suo punto di ascissa  è:

 

 

 

 

4)      Stabilisci per quale valore del parametro  la curva grafico della funzione  

        ha, nel punto di ascissa 1, retta tangente orizzontale.

        Stabilisci poi la natura di questo punto: è di massimo relativo? Di minimo relativo ? Né l’uno né l’altro?

 

  

5)   Considera la funzione    e tracciane il “grafico probabile”.

 

a)      Constaterai che la funzione deve presentare sia un minimo relativo che un massimo relativo:

determinane le coordinate.

 

b)      Verifica che negli intervalli nei quali il grafico mostra un andamento crescente,

la derivata della funzione risulta avere segno positivo,

mentre negli intervalli in cui la f è decrescente, la derivata è negativa. Come si spiega questo fatto?

 

 

6)   a)  Traccia il grafico probabile della funzione  ,

b)      poi determina le coordinate del suo minimo relativo e del suo massimo relativo.

c)      Calcola l’espressione della funzione derivata  e tracciane il grafico,

nello stesso riferimento cartesiano di , per osservare che si ha

 

 

d)      Determina le equazioni delle rette tangenti alla curva , condotte dal punto .

SUGGERIMENTO:

si potrebbe provare a scrivere l’equazione della generica retta per A: ,

poi porla a sistema con l’equazione della curva allo scopo di cercare i valori di m

per i quali retta e curva hanno un’intersezione “doppia”…  ma la ricerca di tali valori

è problematica, poiché l’equazione risolvente del sistema è di terzo grado e non di secondo!

Allora cambieremo strategia. Consideriamo il generico punto  della curva,

scriviamo l’equazione della retta tangente alla curva in P

(in questa equazione t  farà da parametro), e imponiamo infine il passaggio di tale retta per A …

 

 

RISPOSTE

1)        

2)        

3)        

4)       ;  minimo

5)       La derivata è  ;

minimo in ,  massimo in  

 

Verifica il tuo grafico con GEOGEBRA!

     

6)       max in ,  min in  

 e l’equazione della a tangente in P è

                                    

Due tangenti per A, di equaz.  e