Derivate

8) DERIVATA DI UNA FUNZIONE COMPOSTA

La derivata di una funzione composta (=funzione di funzione) si ottiene:

a) derivando la funzione principale (cioè, quella che si applica per ultima) “rispetto al suo argomento z”

(voglio dire: facendo finta che il suo argomento non sia a sua volta una funzione,

ma sia una variabile indipendente z; al posto di z, però, va sempre scritta

l’espressione che nella nostra mente abbiamo sostituito con z)

b) poi moltiplicando ciò che si è ottenuto per la derivata dell’argomento z.

Il procedimento a)+b) va eventualmente iterato per gli argomenti più interni, se si ha una funz.“composta più volte”

… Capito?

Coraggio! Dal punto di vista pratico, vedrai che non è poi così terribile.

Gli esempi qui sotto riportati faranno chiarezza.

				In generale:
Si deriva PER PRIMA la funzione che è stata applicata PER ULTIMA, ossia, in questo caso, la funzione “cubo”. a) DERIVIAMO dunque , DOVE PERO’ il nostro “ ” è il blocco “ ”; otteniamo , ossia ; b) POI MOLTIPLICHIAMO per la derivata di , che è . In definitiva, la derivata cercata sarà

ESERCIZI. Derivare le seguenti funzioni:

1)	2)			3)			4)		5)			6)
7)	8)			9)			10)		11)			12)
13)			14)				15)			16)
17)			18)				19)			20)
21)			22)				23)			24)
25)			26)				27)			28)
29)			30)				31)			32)
33)			34)				35)			36)
RISULTATI Svolgimento completo ð
1)		2)				3)					4)
5)		6)				7)		8)
9)		10)				11)					12)
13)		14)				15)		16)
17)		18)				19)				20)
21)		22)				23)				24)
25)		26)				27)				28)
29)					30)			31)
32)					33)			34)
35)					36)

DIMOSTRAZIONE del teorema sulla derivata di una funzione composta

Per capire meglio quali sono le diverse quantità in gioco,

pensiamo all’esempio specifico della funzione :

a) si parte da x,

b) si passa attraverso un calcolo intermedio applicando a x la funzione “seno” che fornisce il numero ,

c) infine si applica la funzione “cubo” a questo numero z, ottenendo il valore finale .

Siamo d’accordo con il ruolo dei simboli x, z, y ? OK? Possiamo allora partire col caso generale.

Noi vogliamo costruire il rapporto incrementale della funzione composta ,

che è poi “ ”, ossia .

All’ascissa di partenza x corrisponde il valore z al quale corrisponde poi il valore y.

Se ora noi passiamo da x a ,

la quantità intermedia z subisce un incremento che la porta al nuovo valore ;

dopodiché, al valore , corrisponderà un determinato valore :

Il rapporto incrementale della funzione composta è ;

ma si può scrivere .

Ora facciamo tendere a zero.

Supponiamo che la funzione z sia derivabile in x:

essa sarà allora certamente continua in x per un teorema ben noto e pertanto anche tenderà a 0;

dunque avremo (supponendo altresì che la funzione y sia derivabile in z ):

e .

Resta perciò dimostrato che

, cioè la tesi.

C’è però un piccolo guaio.

Non sarebbe onesto affermare che questa dimostrazione è del tutto generale e completa:

infatti essa non tiene conto del fatto che si potrebbe eventualmente annullare!!!

Sei d’accordo?

Può anche capitare, per una funzione z=z(x) , che,

fissata un’ascissa x e dato a x un incremento , risulti tuttavia e cioè .

Ma se così fosse, il nostro discorso, che comporta la presenza di a denominatore, crollerebbe.

Caro lettore, se non sei particolarmente interessato ad approfondimenti, accontentati pure di quanto scritto sopra

(che costituisce una dimostrazione del teorema nel caso, invero di gran lunga il più frequente,

in cui esiste per lo meno un intorno di x nell’ambito del quale, qualunque sia l’incremento che si dà alla x,

la quantità z(x) subisce sempre un incremento non nullo).

Se invece desideri la dimostrazione del tutto generale, prosegui la lettura.

Insieme con la dimostrazione generale, daremo anche l’enunciato astratto del teorema,

che, se badi, fino a questo momento non abbiamo mai formulato, accontentandoci della descrizione

“alla buona” iniziale (quella che aveva tanto angosciato Snoopy) e della rassegna di esempi.

Per una dimostrazione completamente generale del teorema sulla derivazione delle funzioni composte,

ritengo preferibile indicare l’ascissa fissata con x₀ anziché con x.

Teorema sulla derivazione di una funzione composta (=funzione di funzione)

Sia definita su tutto un intorno di e derivabile in .

Allora la funzione composta è derivabile in e risulta

Dimostrazione

Essendo per ipotesi derivabile in , si ha

da cui (scrittura fuori dal segno di limite)

e quindi vale l’uguaglianza (1) .

Bene!

Abbiamo quindi scritto la , nella quale compaiono gli incrementi della var. , calcolati rispetto al punto _.

La (1) è stata ricavata partendo da un rapporto incr. con a denominatore, per cui va pensata valida per ;

tuttavia, è proprio il caso la “pietra dello scandalo” che ci ha costretto a cercare una diversa dimostrazione.

Ora, se, a posteriori, pensiamo alla (1) con , vediamo che essa,

avendo il primo membro nullo e il secondo membro caratterizzato dalla presenza di un fattore nullo,

continuerebbe ad esser valida se non fosse per il fatto che, in questo caso, la quantità ,

che era stata introdotta come differenza fra il rapporto incrementale e la derivata, non avrebbe significato. Ma noi

possiamo attribuire a , nel caso , un valore convenzionale, ad es. ponendo, per .

Facciamo dunque così. In definitiva, la quantità che compare nella avrà il valore

e la risulterà valida anche con .

La relazione (1) trae la sua verità dal fatto che l’ipotesi afferma la derivabilità di in _.

è una funzione, definita su tutto un intorno di ;

fin qui, NON stiamo ancora riguardando z come variabile che dipende da x, stiamo trattando z

come una variabile indipendente, e indicando con lo scostamento del suo valore dal valore-base .

Fra un attimo riguarderemo invece z come variabile dipendente da x; al variare di x, varierà anche z;

con , sarà , e quando x subirà un incremento algebrico diventando ,

allora z diventerà , subendo un ben determinato incremento algebrico (dipendente da ),

che potrà eventualmente anche essere nullo.

Quindi, nel seguito, il simbolo , prima usato per indicare un generico incremento algebrico ,

passerà ad indicare quel ben determinato incremento algebrico, eventualmente anche nullo,

che la subisce quando da si passa a .

Dopo questa premessa, andiamo a costruire il rapporto incrementale in della funzione .

Avendosi

sarà

e quindi, facendo tendere a , dal momento che quando , anche ed , avremo

Derivazione di una potenza ad esponente qualsiasi

Grazie al teorema sulla derivazione delle funzioni composte,

siamo ora in grado di dimostrare un risultato molto importante

che avevamo già anticipato senza dimostrazione,

ossia:

la formula per la derivazione di una potenza:

già provata nel caso che l’esponente fosse un numero naturale: n = 0, 1, 2, 3, …

si estende a QUALUNQUE esponente reale (positivo, negativo, frazionario, irrazionale):

Dimostrazione

Basta scrivere la potenza sotto forma di esponenziale di un logaritmo:

Applicando ora la regola per la derivazione di una funzione composta:

Derivazione di una funzione della forma

Questo accorgimento di esprimere la funzione data come esponenziale di un logaritmo

si applica anche per la derivazione di una funzione della forma .

Si procede come segue:

Niente paura, però: la formulaccia precedente non è assolutamente da imparare a memoria!

Si tratta invece di applicare lo stesso procedimento in tutti i casi particolari di questo tipo.

Esempio: se devo derivare la funzione , mi basta solo

ricordare di trasformarla in esponenziale-di-un-logaritmo: il resto verrà da sé!

La derivata del logaritmo di un valore assoluto

Importante, in quanto la utilizzeremo in seguito

(occupandoci di “integrali indefiniti”) è l’osservazione seguente:

La derivata della funzione è SU TUTTO , cioè sia con che con

Si tratta ancora di una conseguenza del teorema sulla derivazione di una funzione composta:

q con , abbiamo

ESERCIZI

Il tutto si scrive in modo efficacissimo

con la notazione di Leibniz: