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Sia una funzione (funzione diretta),
e sia la rispettiva funzione inversa
(osserviamo che per il discorso che ci interessa in questo momento, sarebbe controproducente scambiare,
nella funzione inversa, i nomi delle variabili come abbiamo invece fatto in altre occasioni!).
Sia un punto del grafico della funzione diretta :
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Se guardiamo da questo punto di vista, vediamo il grafico della funzione inversa x = f -1(y)=F(y) a patto di tener conto che l’asse di quella che è per noi ora la variabile indipendente (cioè y) ci appare orientato al contrario di come solitamente siamo abituati
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Se guardiamo da qui, vediamo la funzione diretta |
Supponiamo ora f derivabile in , con ;
f sarà dunque anche continua in ;
di conseguenza, per un teorema a noi noto, anche la funzione inversa F sarà continua in .
Quando perciò faremo tendere a zero, anche tenderà a zero. Possiamo scrivere:
ossia
NOTA. Abbiamo già puntualizzato che quando tende a zero, anche tende a zero.
può essere riguardata come quantità che dipende da (=come funzione di ); quindi
possiamo pensare ad una composizione di funzioni, sulla quale è applicabile il “Teorema di sostituzione”.
Tutto ciò dimostra
(sostituendo, a questo punto, il simbolo col simbolo x e il simbolo col simbolo y,
ma tenendo comunque sempre presente che x, y devono indicare due valori che “si corrispondono”),
il seguente:
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Teorema
La derivata di una funzione inversa è uguale al reciproco della derivata della funzione diretta(purché quest’ultima derivata esista e non sia nulla).
In simboli: essendo:
E’ IMPORTANTISSIMO RICORDARE che le due derivate che compaiono nella formula si intendono calcolate in due punti CHE SI CORRISPONDONO!
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ESEMPIO
ESERCIZIO SVOLTO
La funzione è definita per
Essendo la somma di due funzioni crescenti, è monotona crescente, quindi invertibile.
La funzione inversa non è esprimibile elementarmente; tuttavia, è richiesto di calcolare
la derivata di detta funzione inversa, in corrispondenza del punto 2.
RISOLUZIONE
La formula da utilizzare è : basta interpretarla correttamente, tenendo presente che
q ed sono funzioni inverse l’una dell’altra,
q ed , sono due punti che si corrispondono.
Per determinare, come è richiesto, la derivata della funzione inversa nel punto 2,
dovremo innanzitutto trovare a quale valore di x corrisponde, attraverso la funzione diretta , il valore .
Insomma, dovremo cercare per quale x si ha ;
l’equazione si risolve per tentativi e si trova facilmente .
Allora:
Le derivate delle funzioni goniometriche inverse
Come
applicazione importante, siamo ora in grado di calcolare le derivate delle
funzioni goniometriche inverse
.
Cominciamo
dalla prima. Consideriamo
come funzione diretta (infatti è QUESTA la
funzione che innanzitutto ci interessa ora),
come
la rispettiva funzione inversa.
Essendo,
per il teorema appena stabilito, ,
avremo
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NOTA |
Ma l’arco il cui seno è x ha come
coseno (l’assenza del è dovuta al fatto che la scrittura indica sempre un arco compreso fra e ,
quindi con coseno positivo). |
Abbiamo
dunque dimostrato che è
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Con
procedimenti dimostrativi analoghi si può provare (fallo anche tu come
esercizio!) che è
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ESEMPIO
Se è ,
calcolare .
ESERCIZIO SVOLTO
Dalla formula per la derivazione
dell’esponenziale: ,
dedurre
quella per la derivazione del logaritmo.
NOTA.
Si poteva anche assumere il logaritmo come funzione
diretta, e l’esponenziale come la rispettiva inversa
(in questo modo d’altronde ci eravamo comportati nel
corso della dimostrazione del Teorema):
si sarebbe ottenuta la stessa relazione, ma, come è
più consueto, con x al posto di y:
.
D'altronde, dire che
equivale in tutto e per tutto ad affermare
che .
