10.  Integrazione delle funzioni RAZIONALI FRATTE (=rapporti di polinomi)

 

Studieremo ora tecniche specifiche per gli integrali della forma

 

,

essendo A(x) e B(x) due polinomi.

 

E’ lecito supporre che il numeratore A(x) sia di grado inferiore rispetto al denominatore B(x):

infatti, se così non fosse, ci si potrebbe pur sempre riportare a questo caso,

sostanzialmente tramite una divisione fra polinomi, come mostra l’esempio seguente.

 

 

 

Poiché il numeratore non è di grado inferiore rispetto al denominatore, svolgiamo la divisione:

 

 

 

Ora abbiamo a disposizione l’identità  

e ciò fa sì che il nostro integrale possa essere trascritto come:

 

 

 

In generale, di fronte ad un integrale di funzione razionale fratta   in cui sia   (deg significa “grado”, dall’inglese degree)   ♪        si svolgerà la divisione , ♫       poi si utilizzerà l’identità                   che permetterà di scrivere la funzione integranda sotto una forma diversa:                   In tal modo ci si ricondurrà all’integrazione del polinomio Q(x) (immediata) e della funzione razionale fratta R(x)/B(x).   Ma in quest’ultima il numeratore è di grado inferiore rispetto al denominatore, perché in una divisione di polinomi il polinomio resto ha sempre grado minore rispetto al polinomio divisore.