Il caso in cui il denominatore è di 2° grado

 

Allora, per quanto sopra, possiamo supporre che il numeratore sia di grado 0 o di grado 1:

          

L’integrazione si effettua con 3 tecniche diverse, a seconda che, nel trinomio , sia:

 

I.                     

II.                  

III.                

 

Primo sottocaso:

 

E’ noto che un trinomio di 2° grado con  è scomponibile in due fattori di 1° grado, distinti fra loro.

La tecnica di integrazione consiste nell’effettuare la scomposizione e poi nello

spezzare la frazione in una somma algebrica di due frazioni col denominatore di primo grado.

 

Esempio:    

 

Consideriamo la funzione integranda, scomponiamone il denominatore,

e scriviamola come somma algebrica di due frazioni aventi

per denominatori i due fattori di primo grado ottenuti

e per numeratori due costanti  A,  B  da determinarsi in modo opportuno:

 

 

 

Si tratta ora di stabilire per quali valori di A, B l’uguaglianza

 

è verificata per tutti i valori di x, ossia è un’identità.

 

Dovrà essere, “identicamente” (cioè: per ogni x),

 

 

e a tale scopo A, B dovranno soddisfare il sistema   

Risolvendo, si ha    da cui   

 

 

Il nostro integrale allora diventa: