Terzo sottocaso:

 

Di un trinomio di 2° grado    con ,  noi sappiamo che:

 

·       non è scomponibile in fattori

(a meno di utilizzare coefficienti complessi: ma in questo contesto, non se ne parla neppure!)

 

·       si può scrivere come  , essendo .

 

La tecnica di integrazione, in questo caso, consiste nel ricondursi alla derivata di un arc tg,

come illustrato dall’esempio che segue.

 

Anche qui, come nel sottocaso precedente (quello del  )

occorre innanzitutto far comparire a numeratore la derivata del denominatore.

 

Esempio:  

 

 

 

Si tratta ora di risolvere i due integrali I₁, I₂:

·         il primo porta immediatamente a un logaritmo,

·         il secondo va ricondotto ad un arc tg.

 

Dunque:

 

	(abbiamo omesso il valore assoluto perché, com’è noto,  un trinomio di 2° grado con  e 1° coefficiente positivo  è sempre >0, per ogni valore della variabile)
	NOTA:  stiamo cercando di portarci  nelle condizioni di poter applicare  la formula di integrazione      .  La funzione che nella formula  è indicata con f(x) è per noi la                      .  E si ha

 

In definitiva avremo

 

 

ESEMPI SVOLTI: