12.    Il DIFFERENZIALE, questo sconosciuto

 

 

 

 

 

Nella figura è rappresentata una funzione  derivabile in un’ascissa _.

 

Il grafico della  f  è dunque dotato di retta tangente, non verticale, nel punto ;

tale retta tangente t ha, com’è noto, equazione

 

 o anche .

 

A partire dal valore , diamo alla variabile indipendente un incremento :

passiamo cioè da  al nuovo valore .

Che incremento subisce, in corrispondenza, la nostra funzione?

 

Dall’ordinata  si va alla nuova ordinata  (l’ordinata del punto Q),

quindi l’incremento subito dalla funzione è

.

Nella figura, tale incremento  è rappresentato dalla misura (con segno) del segmento orientato .

 

Pensiamo ora a cosa succederebbe prendendo  molto, ma molto piccolo. Con  piccolissimo, il grafico della  f  è vicinissimo a quello della tangente t: dunque il segmento orientato che nella figura è indicato con tende ad identificarsi col segmento orientato , la cui misura con segno è   Pertanto, se siamo interessati all’incremento   che la funzione subisce, quando diamo alla un PICCOLO incremento, facendola passare da  a , potremo egregiamente approssimare  con la quantità  .   Riassumendo:
	NOTA: il coeff. ang. m della retta tangente è uguale alla derivata; ma da cui
,  se  è piccolo   cioè:   ,  se  è piccolo.   Insomma, l’incremento  subito da una funzione, in corrispondenza di un PICCOLO incremento   della variabile indipendente, è ben approssimato dalla quantità , che è “l’incremento della , misurato non sul grafico della funzione, bensì sulla retta tangente”

 

In Matematica e nelle sue applicazioni (ad esempio alla Fisica), è assai frequente che interessi valutare

il piccolo incremento  subito da una determinata funzione  f , quando si dà alla variabile indipendente

un piccolo incremento , che la porti dal valore  al valore .

 

Abbiamo scoperto che tale incremento è egregiamente approssimato dalla semplice e “maneggevole” quantità

 (se, beninteso,  è molto piccolo!)

E abbiamo anche visto che questa quantità  corrisponde

all’ “incremento della , misurato non sul grafico della funzione, bensì sulla retta tangente”.

 

Alla quantità    si dà un nome particolare:

la si chiama il DIFFERENZIALE della funzione f,

e la si indica con  o anche con .

 

Il differenziale è dunque il prodotto della derivata, per l’incremento della variabile indipendente.

 

Osserviamo che:

 

a)      il differenziale è una quantità che dipende da DUE variabili:  e ;

tuttavia, se pensiamo  fissato, a questo punto il differenziale dipenderà soltanto da .

 

b)      E’ vero: il differenziale è utile, per approssimare l’incremento della funzione,

soltanto quando  è molto piccolo;

d’altra parte, il differenziale è una quantità che resta definita anche quando  non è piccolo.

 

c)      Il significato geometrico del differenziale è importantissimo per comprendere bene.

Ribadiamolo ancora una volta:

differenziale = incremento della , misurato non sul grafico della funzione,

                                                                             bensì sulla retta tangente.

 

q       VEDIAMO UN ESEMPIETTO

 

Il differenziale della funzione  è:

  (posso pure scrivere:  )

Ciò significa che, per un piccolo incremento di , la quantità  fornisce

un’ottima approssimazione dell’incremento subito dalla funzione .

Ad es., se voglio valutare l’incremento subito dalla funzione  nel passaggio da  a

, potrò dire che tale incremento è molto vicino a .

In effetti, andando a calcolare il VERO incremento della funzione , si trova .

 

q       UN ALTRO ESEMPIO: SMARRIMENTO DELLA CALCOLATRICE

 

Mi serve assolutamente il valore di ,

cioè il seno dell’angolo di , aumentato di 1/100 di radiante ;

non trovo però più la mia calcolatrice scientifica.

Posso allora approssimare l’incremento  

col differenziale  calcolato per  e .  Avrò ,

da cui

(la radice di 3, l’ho calcolata a tavolino con l’algoritmo imparato nelle Scuole Medie).

Quindi  .

 

… DOPO ALCUNI GIORNI …

 

Oh, guarda un po’ ! Ho trovato sotto il sofà la mia calcolatrice scientifica.

Sono curioso di vedere che valore mi dà per  .

Sul display mi compare  !!!

 

Beh, d’accordo, in tutto questo vanno tenuti presenti sia il mo errore di troncamento sul valore di ,

che gli errori di arrotondamento della macchinetta nel calcolo di .

Comunque sia, l’utilizzo del differenziale mi ha permesso di fornire un’approssimazione eccellente.