13. Approfondimenti e divagazioni: Pierino e il differenziale
Prof. :Ti vedo pensieroso, Pierino.
Pierino: Sì, in effetti sono un po’ confuso, per via dei simboli utilizzati.
Abbiamo detto che il differenziale di una funzione, ossia la quantità
(differenziale = prodotto della derivata per l’incremento della variabile indipendente),
viene indicato con .
Quella “d” sta dunque per “differenziale”?
Prof : Certo.
Pierino: Ma a me quella “d” fa anche venire in mente la questione delle “differenze infinitesime” !
Abbiamo sempre detto che, in matematica, il simbolo principe per indicare differenza è ;
tuttavia,se si pensa a una differenza “piccolissima”, “tendente a zero”, “infinitesimale”,
al posto del simbolo si va preferibilmente a sostituire il simbolo .
Ad esempio, se penso a un punto in movimento, e lo osservo in due istanti di tempo successivi ,
quando ha velocità rispettivamente , potrò dire che nell’intervallo di tempo
la variazione di velocità è stata .
Ma se i due istanti di tempo li penso estremamente ravvicinati,
preferirò parlare di un intervallino di tempo nel quale è intervenuta una piccolissima variazione di velocità .
Prof : Parole sante.
Pierino: Dunque, se trovo da qualche parte il simbolo ,
dovrò presumere che indichi il differenziale della y, oppure un incremento infinitesimo della y ?
Perché fra l’altro, se leggo come differenziale, allora sarà
un “incremento, calcolato non sul grafico della funzione bensì sulla retta tangente” (segmento MT della figura),
mentre se leggo come incremento (infinitesimo) della funzione,
allora mi indicherà il VERO incremento, quello indicato dal segmento MQ della figura.
Prof : in effetti, potrebbe esserci una certa ambiguità.
D’altra parte, abbiamo sottolineato che il differenziale si rivela utile, quando l’incremento della x è piccolo.
In tali condizioni, MT ed MQ sono “pressappoco uguali”
e interpretare come indicatore dell’incremento sulla retta tangente oppure sul grafico
diventa tendenzialmente irrilevante.
Certo, il discorso diventerebbe più delicato se queste questioni dovessero entrare
nella dimostrazione di un teorema … in tal caso, il “pressappoco” andrebbe valutato attentamente,
e sarebbero necessarie di volta in volta considerazioni più “fini”.
Tuttavia, almeno per una prima “presa di confidenza” coi simboli, potremo dire che:
a) il fatto se la scrittura vada letta come “differenziale della funzione y”
oppure come “incremento infinitesimo della variabile dipendente y”, si desume dal contesto.
b) Le due possibili interpretazioni finiscono per rivelarsi sostanzialmente equivalenti perché il differenziale
è di norma coinvolto in situazioni in cui, essendo piccolissimo l’incremento della variabile indipendente,
tendono a identificarsi l’incremento VERO della variabile dipendente (MQ),
e il valore APPROSSIMATO (MT) di tale incremento,
che si ottiene sostituendo al grafico della funzione, il grafico della retta tangente.
Pierino: Bene.
Però, se il differenziale trova la sua ragion d’essere soprattutto quando l’incremento è piccolo piccolo,
perché non indicare anche quest’ultimo incremento con anziché con ?
Prof : Comincio a preoccuparmi, Pierino. Non è che finirai col rubarmi il lavoro?
In effetti, in matematica si finisce per fare proprio così come stai suggerendo tu.
Avevamo posto, inizialmente:
Ora diciamo che
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si preferisce scrivere il differenziale di una funzione f sotto la forma
anziché
· sia in considerazione del fatto che in un differenziale possiamo pensare piccolo o anche non piccolo, ma il differenziale si rivela poi utile, per approssimare l’incremento della funzione, soltanto quando quel diventa un infinitesimale ;
· sia per il fatto che, formalmente, se pensiamo alla particolare funzione (insomma: alla “funzione identica”), avremo e quindi
|
Pierino: quindi, adotteremo preferibilmente la scrittura:
al posto della
,
e, in tale scrittura , potremo interpretare indifferentemente il simbolo come indicante:
· un piccolo incremento di x;
· oppure il differenziale (a sua volta) della funzione identica .
Ho capito bene?
Prof : Hai capito MOLTO bene.
Ora ti faccio un’anticipazione veloce di una questione con cui avrai a che fare soprattutto all’Università.
Perché, se non sbaglio, sei orientato a iscriverti a Matematica o a Fisica, giusto?
Pierino: sì, in effetti …
Noto però che quando
spesso i procedimenti sono più “elastici” e spediti, non si sta tanto a sottilizzare …
Ad esempio, inizialmente abbiamo introdotto il concetto di “Lavoro” come “Forza moltiplicato Spostamento”
nel caso in cui la forza si possa considerare costante, poi abbiamo detto che se la forza non è costante
si va suddividere lo spostamento in tanti “spostamentini” piccolissimi, che (anche se il moto è curvilineo),
son talmente piccoli da essere quasi dei segmentini, e si fa la somma dei singoli contributi
(o, volendo: )
Insomma, voglio dire: non siamo andati ad approfondire più di tanto,
se fosse del tutto corretto trattare un piccolo archetto alla stregua di un segmentino …
e considerare “costante”, per un piccolo spostamento, una forza che comunque perfettamente costante non era …
abbiamo intuito queste cose, e le abbiamo date per scontate.
Di certi procedimenti, abbiamo dato delle giustificazioni solo parziali, o comunque un po’ “grezze”.
Non so quindi se sono più adatto per
Prof : non devi pensare a un divario, ma ad una complementarietà.
Guai se, di fronte al problema di valutare il Lavoro nel caso di un moto curvilineo e di una forza non costante,
noi ci ponessimo fin dall’inizio troppe esigenze di rigore: non ce la caveremmo più, rimarremmo intrappolati!
Diamo prima fiducia all’intuizione e al buon senso;
con ciò, siamo condotti alla suddivisione dello spostamento in spostamentini”, simili a segmentini,
e all’idea di una forza che, nel corso di un singolo “spostamentino”, si mantiene “sostanzialmente costante” .
Dopodiché, vedremo!
Lo studio matematico puntiglioso potrà essere successiva a questo nostro approccio al problema.
Intanto, abbiamo intuito che il calcolo di un lavoro plausibilmente dovrebbe ricondursi ad un integrale definito.
Qualche ulteriore riflessione “strettamente matematica” potrebbe rendercene a questo punto completamente sicuri.
D’altra parte, l’esigenza di rigore non deve diventare “paralizzante” nemmeno in Matematica “pura” …
La “pulizia” del ragionamento è essenziale,
ma i “motori” della comprensione e dell’invenzione matematica sono molteplici:
la deduzione deve alternarsi con l’intuizione; l’attitudine ad astrarre, generalizzare, formalizzare coopera
con la capacità di calarsi negli esempi, nei tentativi, nelle verifiche empiriche, nelle osservazioni, nelle analogie…
e, perché no? di assecondare la suggestione e l’armonia sprigionata dai simboli.
Ricordi cosa diceva De Morgan? “The moving power of mathematical invention is not reasoning, but imagination”
Pierino: E’ vero… ma senta, prof., a quale anticipazione si riferiva?
Prof : Ah, sì, ci eravamo un po’ persi …
All’Università ti sarà probabilmente richiesto di tener presente il fatto seguente:
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Il differenziale, scritto nella forma , è formalmente invariante se si passa a considerare la variabile indipendente come funzione, a sua volta, di un’altra variabile” (Principio di Invarianza del Differenziale).
|
Pierino: ??????
Prof : Sia .
Allora
.
Bene.
Se ora pensiamo x non più come variabile indipendente, ma come funzione di un’altra variabile, diciamo t, avremo:
e quindi avremo una funzione composta:
Quale sarà il differenziale di questa funzione y, che ora è vista come funzione di t anziché di x?
Vediamo:
in quanto
In definitiva:
anche se x è, a sua volta, una funzione.
Il nostro asserto è dimostrato.
Pierino: Cosa mi può dire, per terminare, riguardo alla scrittura ?
In questo caso, e hanno il significato di “piccoli incrementi” e non di differenziali, giusto?
Infatti abbiamo imparato che sta per “ quando (e quindi anche ) è piccolissimo “ …
cioè, il simbolo è un simbolo agile per “vedere” la derivata come limite del rapporto incrementale,
al tendere dell’incremento a zero …
Dico bene?
Prof : , notazione introdotta da LEIBNIZ, ha proprio il significato che hai ricordato tu.
D’altra parte, se anche interpretassimo questo simbolo come rapporto fra due DIFFERENZIALI
anziché come rapporto fra due INCREMENTI INFINITESIMI, non sbaglieremmo.
Osserva infatti che si può scrivere, banalmente,
interpretando tutte le come indicatori di “differenziale”.
In questo senso, si può anche dire, volendo, che la derivata è uguale ad un rapporto di due differenziali
(il differenziale della funzione che si sta derivando, fratto il differenziale della variabile rispetto a cui si deriva).
Pierino: Lo terrò presente, quando sarò studente universitario.
Prof : Ok.
Ma vorrei lasciarti soprattutto quest’altro suggerimento: dovunque andrai, qualunque cosa realizzerai,
falla con benevolenza e amore per le altre persone, tuoi fratelli e sorelle.
Solo così, ogni momento acquisterà valore e calore … e non perderai mai nulla di ciò che avrai costruito.
Questo, infinitamente più che il differenziale, farà la differenza.
(aggiungere figure …)
