INTEGRALI: L’INTEGRALE DEFINITO
1. L’ “area sotto una curva”
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Il calcolo dell’ “area sotto una curva”, ossia dell’area della regione di piano compresa fra una data curva e l’asse delle ascisse (entro la fascia di piano delimitata da due ascisse fissate), è un problema il cui interesse è enorme non solo in matematica pura, ma anche in svariati campi applicativi.
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Ad esempio, in Fisica, l’ “area sotto una curva” può assumere, di volta in volta, il significato di
· “spazio complessivo percorso in un certo intervallo di tempo” (quando sia nota la legge della velocità in funzione del tempo);
· “lavoro effettuato da una forza su di un oggetto che si sposta lungo un certo arco di traiettoria” (quando sia nota, per ogni singola posizione assunta dall’oggetto, la componente della forza nella direzione dello spostamento);
· ecc. ecc. ecc.
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Nel seguito, chiameremo “trapezoide” la figura mistilinea (quella che è ombreggiata in Figura 1)
di cui desideriamo calcolare l’area.
Supponiamo
inizialmente, per semplicità, che la funzione considerata sia monotòna crescente
(d’ora in poi, nell’aggettivo, ometteremo l’accento, che comunque è da intendersi cada sull’ultima “o”)
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Consideriamo le figure qui a fianco. L’intervallo [a, b] è stato suddiviso in n parti uguali, ciascuna
di ampiezza e
gli estremi delle suddivisioni sono stati indicati con
Il poligono ombreggiato viene detto “plurirettangolo inscritto” e la sua area fornisce, evidentemente, un’approssimazione per difetto dell’area del trapezoide, approssimazione tanto più precisa quanto più alto è il numero n delle suddivisioni di [a, b]
(in fig. 2a è n = 4, e l’approssimazione è piuttosto imprecisa; ma in fig. 2b, con n = 8, l’approssimazione si fa già più soddisfacente).
Abbiamo Area plurirettangolo inscritto = = approssimazione per difetto dell’area del trapezoide = = somma aree rettangoli ombreggiati =
Le figure mostrano anche il cosiddetto “plurirettangolo circoscritto” (dai contorni superiori tratteggiati), la cui area rappresenta un’approssimazione per eccesso dell’area cercata, tanto più precisa quanto più è alto il numero n delle suddivisioni di [a, b].
Area plurirettangolo circoscritto = = approssimazione per eccesso dell’area del trapezoide = = somma aree rettangoli più alti =
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Poniamoci ora in una situazione più generale.
Non supporremo più che la funzione sia necessariamente monotona su [a, b];
ci limiteremo a supporla continua su [a, b].
In questo caso, le altezze dei singoli rettangoli costituenti i due plurirettangoli inscritto e circoscritto
non saranno più,
in generale, i valori assunti dalla funzione alle estremità dell’intervallino [
],
ma saranno,
rispettivamente, il minimo e il massimo
della
su [
].
(Osserviamo per inciso che una funzione continua su di un intervallo chiuso e limitato
ammette ivi sempre minimo assoluto e massimo assoluto: teorema di Weierstrass). Avremo allora
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Area plurirettangolo inscritto = = approssimazione per difetto dell’area del trapezoide = = somma aree rettangoli ombreggiati =
Area plurirettangolo circoscritto = = approssimazione per eccesso dell’area del trapezoide = = somma aree rettangoli più alti =
Si capisce che facendo crescere n(numero delle suddivisioni di [a, b] in sottointervalli),potremmo ottenere approssimazioni,rispettivamente per difetto e per eccesso, tanto precisequanto lo desideriamo, dell’area del trapezoide.
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Di fronte ad una funzione continua su di un intervallo (non importa se sia o non sia monotona)
per calcolare l’ “area sotto la curva” potremmo anche procedere nel modo seguente:
Effettuiamo la solita suddivisione di [a,
b] in n sottointervallini
uguali, ciascuno di ampiezza
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e andiamo a considerare, su ciascun
intervallino [ un’ascissa qualsiasi (nella Fig. 4 abbiamo preso ma non dev’essere obbligatoriamente proprio così).
Se ora calcoliamo la somma delle aree dei rettangoli di base
Area plurirettangolo “intermedio” = = approssimazione dell’area del trapezoide =
si capisce che, facendo crescere il numero n di suddivisioni di [a, b], potremmo approssimare l’area del trapezoide con la precisione desiderata.
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Esercitazione:
Facendo i calcoli “a mano”, senza calcolatrice, determina un’approssimazione per difetto e una per eccesso dell’area sotto la curva tali che differiscano tra loro meno di 0,01.
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Per inciso, posso dirti che l’area in questione vale ESATTAMENTE 15/4 = 3,75. Come ho fatto a determinarne il valore “esatto che più esatto non si può” ? Ti piacerebbe saperlo, vero? EH, EH!!! Non devi far altro che proseguire la lettura!
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