Sia  una funzione definita su di un intervallo chiuso e limitato [a, b] e ivi continua.

Suddividiamo l’intervallo [a, b] in n parti uguali, ciascuna di ampiezza , indicando con

gli estremi degli intervallini che costituiscono la suddivisione:  .

Indichiamo poi con  e con  rispettivamente il minimo e il massimo fra i valori assunti dalla

su  (tale minimo e massimo assoluti esistono certamente, per il teorema di Weierstrass).

Consideriamo le somme

detta SOMMA INTEGRALE INFERIORE

della  su [a, b], relativa alla suddivisione effettuata

detta SOMMA INTEGRALE SUPERIORE

della  su [a, b], relativa alla suddivisione effettuata

Si può dimostrare (sotto l’ipotesi, ribadiamolo, della continuità della  su [a, b] ), che

       la successione delle somme integrali inferiori 

e la successione delle somme integrali superiori 

convergono allo stesso limite.

Tale limite comune viene detto “integrale definito” della f(x) su [a, b] e indicato col simbolo .

E’ dunque

dove il simbolo  è stato scelto perché può esser visto come una “S” di “Somma” stilizzata,

e il prodotto  ricorda che ciascun addendo delle somme di cui si sta indicando il limite

è costituito dal prodotto di un valore della , per un incremento della variabile indipendente

(incremento  che, al tendere di n all’infinito, diventa un infinitesimale  ).

Alla dimostrazione di questo teorema, la cui verità è peraltro facilmente colta dall’intuizione,

siamo costretti purtroppo a rinunciare.

Infatti il ragionamento dimostrativo richiede di aver acquisito alcune nozioni sulla cosiddetta

“continuità uniforme”, che vanno al di fuori dei limiti del nostro corso.

Aggiungiamo, sempre senza dimostrazioni, qualcosa in più:

a)    I due limiti coincidenti  e  costituiscono anche, rispettivamente,

 l’estremo superiore dell’insieme numerico  e l’estremo inferiore dell’insieme numerico

b)   Allo stesso limite comune al quale convergono le successioni

 (delle “somme integrali inferiori) ed  (delle “somme integrali superiori”),

 risulta tendere anche qualunque successione di “somme integrali intermedie”

 costruita prendendo, in ciascun intervallino , un arbitrario punto

c)   Con qualche adattamento e puntualizzazione, si potrebbe elaborare una teoria più generale, affrancata

 dal vincolo che le suddivisioni di [a, b] debbano essere costituite da sottointervalli di uguale ampiezza.

d)   Nella trattazione, ci siamo concessi una licenza, un atteggiamento non rigoroso che ora vogliamo correggere.

 Abbiamo parlato fin dall’inizio di “area del trapezoide”, senza averla prima definita.

 Diciamo ora, più correttamente, che l’ “area (con segno) del trapezoide” è, per definizione, appunto

 il valore comune dei due limiti  e ; il numero, insomma, che abbiamo indicato con .