3. Osservazioni e proprietà
Osserviamo ancora che la definizione appena posta di “integrale definito”, seppure sia stata introdotta a partire
da considerazioni di carattere geometrico, ha significato anche indipendentemente da interpretazioni geometriche.
Non è poi necessario che la funzione assuma, nell’intervallo [a, b], esclusivamente valori positivi,
come abbiamo supposto fin qui per evitare complicazioni. E’ comunque ovvio che
se f(x) è negativa sull’intervallo [a, b], negative saranno pure le somme ,
e negativo sarà quindi il valore dell’integrale .
Dal punto di vista geometrico, questo numero negativo misurerebbe
l’ “area con segno” tra la curva e l’asse x, entro il campo di ascisse considerato.
Il valore assoluto dell’integrale darebbe il valore dell’ “area senza segno”.
E se la assumesse, su [a, b], valori sia positivi che negativi?
Beh, allora in ciascuna somma o avremmo una parte degli addendi positiva e un’altra parte negativa,
e il segno dell’integrale dipenderebbe da … ma aiutiamoci con una figura.
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Nella figura, per comodità grafica, abbiamo rappresentato una somma integrale “intermedia” anziché (come è più usuale) una somma integrale inferiore o superiore, ma si capisce che il discorso non cambia nella sostanza.
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Fig. 5 |
Insomma, è evidente (e si potrebbe puntualmente dimostrare) che in situazioni come quella della figura, cioè quando la non ha segno costante su [a, b], l’integrale avrebbe il significato di “somma algebrica di aree con segno”:
e pertanto avrebbe valore positivo o negativo a seconda che l’estensione complessiva dei pezzi di trapezoide al di sopra dell’asse x sia maggiore o, rispettivamente, minore dell’estensione complessiva dei pezzi di trapezoide che stanno sotto l’asse x.
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Verifica empiricamente questo fatto calcolando, con carta e matita o, ad es., con EXCEL, l’integrale :
le approssimazioni trovate avranno, se il numero n delle suddivisioni di [0,1] è abbastanza elevato, valori prossimi a 0.
Ciò significa che la porzione di superficie al di sotto dell’asse x dà all’integrale un contributo negativo
uguale e opposto al contributo positivo che proviene dalla porzione al di sopra dell’asse x.
La “somma algebrica delle aree con segno” è pertanto nulla.
OSSERVAZIONE: l’espressione linguistica “area sotto la curva” può essere ancora utilizzata, per estensione,
anche nei casi in cui la curva vada a finire tutta o in parte nel semipiano delle ordinate negative:
il significato è allora quello di “area con segno”, o di “somma algebrica di aree con segno”.
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L’interpretazione geometrica permette anche di comprendere molto bene (vedi figura 6a)
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Fig. 6a |
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Ma il bello è che (figure 6b, 6c) l’ uguaglianza di cui sopra vale QUALUNQUE SIANO LE POSIZIONI RECIPROCHE DEI TRE PUNTI a, b, c, per il fatto che si pongono le seguenti CONVENZIONI: |
Fig. 6b
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Fig. 6c
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