5.  L’ “antiderivata” o “primitiva” di una funzione assegnata: insomma, l’ “integrale indefinito”

 

Si dice “integrale indefinito” di una funzione , la famiglia di tutte e sole quelle funzioni la cui derivata è uguale a . Se una funzione  è tale che , allora si dice che  è una “antiderivata”, o una “primitiva”, della . Il termine più usato è “primitiva”.   Poiché: a)      se due funzioni differiscono per una costante additiva, allora hanno la stessa derivata;   b)      e, viceversa, se due funzioni hanno la stessa derivata, allora differiscono per una costante additiva (conseguenza del Teorema di Lagrange),   se ne deduce che, data una funzione , se essa ammette una primitiva , ne ammetterà infinite: si tratterà di tutte e sole le funzioni che si possono scrivere sotto la forma . Il simbolo di integrale indefinito è il seguente:    (leggi: “integrale di  in  ”: “in” è un modo di leggere l’operatore di moltiplicazione “per”).   Tale simbolo è stato scelto per via del legame che il teorema di Torricelli-Barrow stabilisce fra il problema del “calcolo dell’area sotto una curva” (integrale DEFINITO) e la ricerca dell’ “antiderivata” di una funzione (integrale INDEFINITO, appunto).   Poiché, dunque, il simbolo di integrale indefinito indica la FAMIGLIA di tutte le primitive della funzione  (o, se si preferisce: indica la GENERICA primitiva della  ), esso contiene implicitamente una costante additiva arbitraria: ad esempio

 

Ricordiamo che la derivata è un “operatore lineare”, nel senso che la derivata di una combinazione lineare di funzioni è uguale alla combinazione lineare delle derivate (s’intende, con gli stessi coefficienti): .   Ne consegue perciò che anche l’integrale indefinito è un operatore lineare: Esempio:

 

·       Così come esistono delle ben precise “formule di derivazione”,

similmente è possibile scrivere tutta una serie di “formule di integrazione indefinita”

(quando non ci sia possibilità di equivoco scriveremo semplicemente: “integrazione”)

ed elaborare, per i casi più complessi, delle “tecniche di integrazione indefinita”

(integrazione “per parti”, integrazione “col circolo vizioso apparente”, ecc.)

Mentre però la derivazione è una procedura del tutto meccanica,

l’integrazione è, in una certa misura, un’ “arte”,

che richiede intuito, e capacità di collegare e reinterpretare procedure e formule diverse.

 

·       Si può dimostrare che una funzione, che sia continua su di un intervallo, è sempre ivi integrabile; tuttavia,

il problema di risalire all’espressione analitica (= alla formula) dell’integrale può essere anche molto difficile.

Aggiungo che per alcune funzioni costruite componendo funzioni elementari,

ad esempio la fondamentale  ,  importantissima in Teoria degli Errori,

è stato dimostrato che l’integrale indefinito, pur esistente data la continuità della funzione integranda,

non ammette una espressione analitica costituita da composizioni di funzioni elementari.

 

·       Le tecniche di “integrazione indefinita”, o “antiderivazione”, sono nella maggior parte dei casi utilizzate

per poi procedere al calcolo di un “integrale definito”, ovvero dell’ “area sotto una curva”;

la loro importanza è perciò alquanto diminuita da quando, tramite i computer, possiamo utilizzare

opportuni algoritmi di “integrazione numerica” per approssimare,  con la precisione desiderata,

l’integrale definito di una funzione assegnata, senza aver bisogno di calcolarne l’antiderivata.

Nel seguito impareremo le formule e le tecniche fondamentali di integrazione indefinita.