6. Il “teorema della media del calcolo integrale”
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Se una funzione è continua su di un intervallo chiuso e limitato [a, b], allora esiste certamente, nell’intervallo aperto (a, b), almeno un’ascissa c tale che
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Giustificazione con l’intuizione geometrica:
considerata la curva continua sull’intervallo [a, b], e presa una retta orizzontale, sarà sempre possibile spostare questa verso l’alto o verso il basso in modo da realizzare la situazione in cui l’area del rettangolo compreso fra la retta e l’asse x, sull’intervallo [a, b], sia perfettamente uguale all’area del trapezoide.
L’ordinata costante dei punti di tale retta dovrà evidentemente essere compresa fra il minimo assoluto e il massimo assoluto della funzione su [a, b] , quindi la retta sarà obbligata a tagliare la curva in almeno un punto.
L’ascissa di tale punto di intersezione retta-curva è l’ascissa c di cui il teorema afferma l’esistenza.
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Figura 9
Le due aree più scure sono uguali, quindi sono uguali le aree 1) del trapezoide 2) del rettangolo
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Dimostrazione
La funzione , per ipotesi continua sull’intervallo chiuso e limitato [a, b],
è ivi dotata di minimo assoluto m e di massimo assoluto M (Teorema di Weierstrass).
Se ora noi prendiamo una qualsiasi “somma integrale inferiore”, avremo
e analogamente, presa una qualsivoglia somma integrale superiore, avremo
.
Poiché dunque per ogni n risulta
si avrà
ed essendo
sarà dunque
da cui infine .
Esiste perciò (“teorema dei valori intermedi”) un’ascissa c, con a < c < b, tale che
quindi , C.V.D.
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L’ordinata viene chiamata “valor medio” della funzione su [a, b].
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