Se  è una funzione continua sull’intervallo [a, b],

allora la derivata della funzione integrale

è uguale al valore della funzione integranda

in corrispondenza dell’ascissa nella quale si deriva:

Nella figura è rappresentata la funzione INTEGRANDA .

Consideriamo un’ascissa x fissata a piacere in [a, b]

e scriviamo il rapporto incrementale della funzione INTEGRALE  nel punto x.

Avremo:

dove l’ultimo passaggio è un’applicazione del Teorema della Media sull’intervallo :

c è appunto l’ascissa di cui quel teorema assicura l’esistenza.

Il punto c dipende da , il che si può indicare scrivendo  ,  e si ha  .

Ora faremo tendere   a zero;

ma quando  tende a zero,

l’ascissa , essendo “stretta” fra  (fissato) e , tenderà a

e avremo:

,   C.V.D.

NOTA:  quest’ultimo passaggio dipende strettamente dalla ipotesi di continuità per la .

              Volendo, per comprenderlo meglio, possiamo porre  ,  con    e  ,

              e avremo  , appunto per la continuità della  nell’ascissa .

OSSERVAZIONE

In tutto il procedimento dimostrativo,

per rendere il ragionamento più spontaneo e anche per ragioni di praticità nell’esposizione,

abbiamo supposto positivo l’incremento .

E’ chiaro che il tutto si potrebbe riformulare per un  di segno qualsiasi.