INTEGRALI: L’INTEGRALE INDEFINITO

 

9.  Integrali immediati

 

Riassumiamo le puntate precedenti: si dice “INTEGRALE INDEFINITO” di una funzione ,

la famiglia di tutte e sole quelle funzioni la cui derivata è uguale a . Esse sono dette

“le primitive” (= “antiderivate”) di , e differiscono tutte fra loro per una costante additiva.

Ad es., presa la funzione , la famiglia delle sue “primitive”, ossia il suo “integrale indefinito”,

è la famiglia costituita dalle infinite funzioni .

Infatti tutte, e sole, le funzioni della forma , hanno per derivata .

 

Il simbolo di integrale indefinito è il seguente:   (leggi: “integrale di  in  ”).

 

Tale simbolo è stato scelto per via del legame che il teorema di Torricelli-Barrow stabilisce

fra il problema del “calcolo dell’area sotto una curva” (integrale DEFINITO)

e la ricerca dell’ “antiderivata” o “primitiva” di una funzione (integrale INDEFINITO, appunto).

Poiché, dunque, il simbolo di integrale indefinito indica la FAMIGLIA di tutte le primitive

della funzione  (o, se si preferisce: indica la GENERICA primitiva della  ),

esso contiene implicitamente una costante additiva arbitraria.

Esempi:    

 

TAVOLA DEI PRINCIPALI INTEGRALI IMMEDIATI

 

Formule di derivazione		Formule corrispondenti di integrazione
Per derivare una potenza occorre moltiplicare per l’esponente e abbassare questo di un’unità
		Caso particolare importante:

 

OSSERVAZIONI

 

 

·         La tabella non riporta le formule di derivazione

, , con le corrispondenti formule di integrazione,

per il fatto che tali formule differiscono solo per un segno dalle analoghe con   e   

e dunque, dovendo calcolare  ad esempio ,

si potrebbe scrivere indifferentemente  oppure ,

ma di norma si preferisce, per consuetudine, utilizzare la funzione .

Idem per la coppia , : si privilegia quasi sempre la prima fra le due.

 

·         Non abbiamo riportato neppure le formule  perché, di fronte ad

un’esponenziale in base diversa da , è sempre possibile passare alla base , tramite l’identità  .

Discorso analogo per le formule con la funzione logaritmica in base diversa da .

 

Qui di seguito riportiamo qualche esempio di applicazione delle formule elencate in tabella. Nello svolgere gli integrali proposti, abbiamo tenuto conto della “linearità” dell’integrale indefinito:

 

Esempio 1

 

 

UN CONSIGLIO DA AMICO   Specialmente nei primi esercizi, è opportuno fare la verifica, derivando l’espressione ottenuta, per controllare se si ottiene effettivamente quella che era la funzione integranda.   E ciò, non soltanto per essere sicuri che il risultato sia esatto, ma anche per impadronirsi meglio dei meccanismi psicologici dell’integrazione: essendo l’integrazione indefinita nient’altro che il processo inverso della derivazione, in qualche modo si impara ad integrare solo se la mente è allenata a “tornare-indietro-per-vedere-se-è-giusto”.

Verifica di  :      OK!!!!!!!!