10. FUNZIONI CONTINUE |
DEFINIZIONE DI CONTINUITÀ DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO
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oppure:
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Il concetto è veramente fondamentale e quindi andiamo ad analizzarlo nei dettagli.
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Dunque una funzione è continua in un punto se e solo se, per definizione: · è definita in
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Possiamo anche dire che
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Diciamo che per le funzioni che si utilizzano più frequentemente
(ottenute operando in svariati modi su funzioni algebriche, goniometriche, logaritmiche, esponenziali …)
la continuità è “la norma”, mentre la discontinuità è “l’eccezione”.
Per questo motivo, il concetto di continuità si comprende meglio attraverso i CONTROesempi,
cioè gli esempi di DIScontinuità.
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Si
ha una discontinuità di specie o di tipo “salto” quando esistono, al tendere di a ,
sia il limite sinistro che il limite destro, e sono entrambi finiti, ma sono diversi fra loro, cosicché nell’attraversamento dell’ascissa si ha, appunto, un “salto”, uguale alla differenza fra il limite destro e quello
sinistro. Esempi: |
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. Questa funzione
ha una discontinuità di specie, o di tipo “salto”,
in ,
in quanto
Il salto vale dunque |
Questa funzione
ha una discontinuità di specie, o di tipo “salto”,
in :
Il salto della nell’origine vale 2 |
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Si
ha una discontinuità di specie quando, al tendere di a ,
almeno uno fra i due limiti sinistro e destro o non esiste, oppure esiste ma è infinito. Esempi: |
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ha una discontinuità di specie in (limiti sinistro e destro infiniti) |
ha una discontinuità di specie in (il limite destro è infinito) |
ha una discontinuità di specie in (il limite non esiste) |
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Si
ha una discontinuità di specie (discontinuità di tipo “buco”,
discontinuità “eliminabile”) quando, al tendere di a ,
la funzione tende ad un limite finito ,
che però non coincide con ,
Esempi: |
||
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(“retta col
buco”: discontinuità di
specie in ) |
ma non esiste (discontinuità
di specie in ) |
,
ma |
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DEFINIZIONE DI CONTINUITÀ DI UNA FUNZIONE IN
UN INSIEME
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Una funzione si dice continua in un insieme E (o “su di
un insieme E”) , se è continua in
ogni punto di E. |
CONTINUITÀ
SUL LORO DOMINIO DELLE FUNZIONI ELEMENTARI
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Sono continue su tutto il loro dominio (=in tutti i
punti del loro dominio) le seguenti funzioni: (qualche dimostrazione è riportata più avanti, le
altre dimostrazioni sono omesse) |
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funzione |
dominio |
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con polinomi |
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; valori in |
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; valori in |
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; valori in |
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; valori in |
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,
in particolare |
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,
in particolare |
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DIMOSTRAZIONE
DELLA CONTINUITÀ DI ALCUNE FUNZIONI ELEMENTARI
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Osservazione preliminare: poiché per dimostrare che una data funzione è continua in si imposterà la disequazione con l’obiettivo di far vedere che essa è verificata
su tutto un intorno di (come
abbiamo già più volte sottolineato, non è necessario che l’intorno trovato
sia circolare, perché, comunque, qualsiasi intorno di un punto
contiene sempre un intorno circolare di quel punto) |
·
Dimostriamo
che la funzione costante è continua per ogni
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La tesi è: |
Osservazione: il contenuto del teorema è molto banale: ce ne scusiamo col lettore. |
Dimostrazione
Consideriamo un qualunque .
Impostiamo la disequazione:
per stabilire da quali valori di è verificata. Essa diventa, nella fattispecie:
e ci rendiamo immediatamente conto che
è verificata qualunque fosse l’ considerato in partenza,
vale a dire su tutto ;
quindi la disequazione posta è verificata su tutto un intorno di .
·
Dimostriamo
che la funzione identica è continua per ogni
|
Tesi:
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Osservazione: anche questo teorema invoca indulgenza per la banalità del suo contenuto. |
Dimostrazione
Consideriamo un qualunque .
Impostiamo la disequazione: .
Essa diventa, nella fattispecie: ed è verificata per , che è un intorno di .
In pratica, il può essere preso uguale a (o, a maggior ragione, ).
·
Una funzione
polinomiale è continua per ogni ,
cioè:
Dim. Conseguenza di teoremi precedenti:
ü la funzione
identica è continua per ogni :
ü
ü
ü il limite di
una somma algebrica di più funzioni è uguale alla somma dei limiti,
supposto che tutti questi limiti esistano e
siano finiti
ü
·
Dimostriamo
che una funzione algebrica razionale fratta con polinomi,
è continua su tutto il suo dominio (che è poi l’insieme degli che non annullano il denominatore )
Dim. Conseguenza di teoremi precedenti:
ü una funzione polinomiale è continua per ogni
ü il limite del quoziente di due funzioni è uguale al
quoziente dei limiti
(supposto che entrambi esistano e siano
finiti, e che il limite della funzione a denom. sia ).
·
Dimostriamo
che la funzione “seno” è continua per ogni
Per
la dimostrazione, occorre preliminarmente provare che: a) ; b)
|
a)
Dimostriamo che . Vogliamo far vedere che la
disequazione (ossia ), con numero positivo arbitrariamente prefissato, è
verificata in tutto un intorno dell’ascissa . Ma osserviamo la figura qui sotto: essa
ci mostra che risulta sempre quindi, qualora si abbia ,
cioè: qualora appartenga all’intorno di centro e raggio ,
è certamente, a maggior ragione, . La tesi è dimostrata: insomma, in
corrispondenza di qualsivoglia prefissato, il che va bene esiste: basta prendere (o ). NOTA: a partire dalla disuguaglianza ,
avremmo potuto anche utilizzare il “2° teorema del confronto” |
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è la lunghezza dell’arco ,
misurato in radianti; è la misura del segmento HP. Il
segmento è più corto dell’arco che va da a (questa
disuguaglianza, ovvia all’intuizione, può essere comunque dedotta dalla def. di lunghezza di
una curva, la quale porta con sé come conseguenza il
fatto che “fra tutti i cammini che congiungono due
punti, quello
rettilineo è il più breve”). Quindi
da cui . Abbiamo
supposto, per semplicità, ;
se il segno di
è arbitrario, vale invece la relazione |
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b)
In quanto al limite , esso si può dedurre da tenendo conto delle formule
goniometriche e di teoremi sui limiti, già acquisiti. |
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BENE! Siamo a questo punto finalmente
pronti per la dimostrazione del nostro asserto:
“la funzione “seno” è continua per ogni ”. Poniamo
la tesi sotto la forma .
Provare questa relazione è ora semplicissimo … … basterà infatti combinare la
formula di addizione coi
risultati precedenti e ,
applicati con al posto di . |
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OPERAZIONI
CON FUNZIONI CONTINUE
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Dai teoremi sui
limiti e dalla definizione di continuità segue che: La somma, la differenza, il prodotto di due funzioni
continue in uno stesso punto sono pure funzioni continue in La potenza con esponente intero positivo di una
funzione continua in è pure una funzione continua in Il quoziente di due funzioni continue in è pure una funzione continua in , purché la funzione a divisore non si annulli in Il valore assoluto di una funzione continua in è pure una funzione continua in |
L’INVERSA
DI UNA FUNZIONE CONTINUA
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Si può inoltre dimostrare (noi ci limitiamo ad
enunciarlo) il seguente Teorema sulla
continuità della funzione inversa di una funzione continua: SE una
funzione è continua su di un insieme E, ed è
invertibile su E, ALLORA la sua
funzione inversa è continua sull’insieme (col simbolo si indica l’insieme delle immagini dei punti
di E, attraverso la ). |
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La continuità, su tutto il loro dominio, delle
inverse delle funzioni circolari (si dice anche: “funzioni goniometriche inverse”): , può essere considerata come conseguenza del
precedente Teorema sulla continuità della funzione inversa, essendo stata preliminarmente provata la continuità
delle rispettive funzioni dirette . |
COMPOSIZIONE DI FUNZIONI, E IN PARTICOLARE DI
FUNZIONI CONTINUE
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Resta da considerare la cosiddetta
COMPOSIZIONE DI FUNZIONI. Ce ne siamo occupati i un paragrafo
apposito del capitolo “Verso l’analisi”; ricapitoliamo qui il succo del discorso. Esempi
di funzioni composte sono: Prendendo, ad esempio , si vede che in essa ci sono due “componenti”: la funzione “triplo”, che da fa passare a ;
e la funzione “coseno”, che da questo ci porta a
. Il generale, applicando a prima una funzione e poi al risultato così ottenuto una seconda
funzione ,
si ha: IMPORTANTE:
Chiamando
il numero intermedio si avrà: Se le due funzioni componenti ,
sono tali che: è continua in un dato punto ,
e è a sua volta continua in quel punto ,
tale che , cosicché
in qualche modo le due continuità si “saldino”, ci possiamo domandare: sarà
certamente continua (nel punto ) anche la funzione composta ? La risposta (affermativa), è discussa
nelle impegnative pagine seguenti, le quali giustificano anche i
procedimenti di “sostituzione “ (“implicita” od “esplicita”) ai quali spesso occorre fare ricorso nel
calcolo di un limite. |
SOSTITUZIONE
DI VARIABILE NELL’AMBITO DEL CALCOLO DI UN LIMITE
Obiettivo
di questo paragrafo è di dimostrare che, eseguendo esercizi sui limiti,
è
corretto effettuare “sostituzioni di variabile”, esplicite o implicite, come
negli esempi seguenti:
Sostituzione implicita:
Sostituzione esplicita:
Ciò si riassume dicendo che:
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“se la funzione di cui vogliamo calcolare il limite dipende,
a sua volta, da una funzione che, quando tende a ,
tende ad un limite (finito o infinito), possiamo comportarci
come se avessimo, al posto di ,
una variabile indipendente tendente a ” |
Vale
infatti il seguente rilevante Teorema:
TEOREMA
SUL LIMITE DI UNA FUNZIONE COMPOSTA, O “TEOREMA DI SOSTITUZIONE”
(i simboli potranno indicare un numero finito, oppure ,
o ,
o ) Supponiamo di
voler calcolare il . Supponiamo
inoltre che siano verificate le seguenti due ipotesi: I. II. Allora avremo (TESI):
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Dimostrazione
La tesi è che ,
cioè che .
Fissiamo dunque, ad arbitrio, un .
Per l'ipotesi II), in corrispondenza di
questo esisterà un tale che
Per l'ipotesi I), in
corrispondenza di questo esisterà poi un tale che
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Ci rendiamo ora conto
di una difficoltà. ci dice che la funzione (quella che viene applicata per prima), quando opera sugli di ,
genera valori che stanno in ; afferma che quando la funzione opera su valori che stanno in ,
genera valori che stanno in CON UNA POSSIBILE ECCEZIONE: quando ,
il valore potrebbe anche a) non esistere oppure
b) stare FUORI da . Se
non intervenisse questa possibile eccezione, la tesi sarebbe dimostrata, e
sarebbe l’intorno di di cui si voleva provare l’esistenza. abbiamo scoperto che, per
assicurare la validità della tesi, OCCORRE UN’IPOTESI SUPPLEMENTARE,
ossia che |
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III. esista
un intorno di ,
per ogni del quale (escluso, tutt’al più, ), sia certamente
Se, dunque, vale
l’ipotesi supplementare III,
avremo che
per ogni di risulterà contemporaneamente e ,
ossia
.
Quindi avremo, combinando con ,
.
In corrispondenza dell' arbitrariamente fissato, si è quindi provato
che esiste un intorno di
(si tratta di ) per ogni del quale, eccettuato al più se è finito, risulta .
La tesi è dimostrata. Ma C’È STATO BISOGNO DELL’IPOTESI SUPPLEMENTARE III.
OSSERVAZIONE
1: la scarsa incidenza dell’ipotesi supplementare
E’ pur vero che questa ipotesi supplementare è quasi
sempre verificata, a meno di andare a scomodare situazioni
particolarissime. Consideriamo ad esempio la
funzione . Essa è tale che . Osserviamo che assume, in qualsiasi intorno dell’ascissa ,
infinite volte il valore 0 e quindi assume, in qualsiasi intorno dell’ascissa ,
infinite volte il valore 4. Consideriamo poi la
funzione Avremo ma . Se ora noi costruiamo la funzione composta ,
vediamo che essa assume, in ogni intorno di ,
infinite volte il valore 50 e infinite volte il valore 100, quindi non tenderà a nessun limite se facciamo
tendere a 0. NON è quindi verificata la tesi del Teorema, ossia , per il fatto che il teorema stesso non è
applicabile, non valendo l’ipotesi supplementare III. Ma che funzione strana abbiamo dovuto chiamare in
causa per poter costruire questo controesempio! Osserviamo
ancora che, nel caso sia infinito, il problema
dell’ipotesi supplementare semplicemente non si pone. |
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OSSERVAZIONE 2:
l’ipotesi supplementare è superflua se è continua in . Possiamo fare anche
un’altra osservazione. Abbiamo avuto bisogno dell’ipotesi supplementare III
quando ci siamo accorti che mancavano del tutto, nell’ipotesi originaria del
teorema, condizioni sul comportamento della funzione IN ;
il valore poteva anche a) non esistere b) esistere ma non coincidere con ,. Queste due circostanze avrebbero portato il valore ,
nel caso fosse ,
rispettivamente a) a non esistere b) a collocarsi, purché venisse preso sufficientemente piccolo,
FUORI dall’intorno ,
anche qualora il punto tale che appartenesse a . Se però e è CONTINUA in ,
allora si ha e il valore esiste ed è automaticamente contenuto in
qualsiasi intorno di ,
quindi non “rischia” più di non esistere, né di
stare al di fuori dell’intorno . In definitiva: l’ipotesi
supplementare III è del tutto superflua nel caso sia un valore finito e la funzione sia continua in . |
COROLLARIO 1
SE la funzione è continua in e la funzione è continua in , ALLORA la funzione composta è continua in . Dimostrazione
Infatti , sotto le predette ipotesi di
continuità, si ha
e ciò implica, per il
Teorema sul Limite di una Funzione
Composta appena dimostrato (la cui applicazione,
data la continuità di f, non richiede l’ipotesi supplementare III), ossia la continuità in della funzione composta . Potremmo ricordare più facilmente questo importante
Corollario enunciandolo nel modo seguente, piuttosto vago ma utile, appunto, per tenere a mente
il concetto: la funzione ottenuta
componendo due funzioni continue è ancora una funzione continua. |
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OSSERVAZIONE 3 (uno
“slogan” importante!) Se e una funzione è CONTINUA in ,
cioè ,
allora, presa una qualsivoglia funzione tale che ,
il Teorema di Sostituzione (senza
bisogno dell’ “ipotesi supplementare”, data la continuità della in ) ci
assicura che e, compattando la scrittura, il
che autorizza a formulare il seguente “slogan” (vago, ma efficace): le funzioni continue sono tutte e sole quelle
funzioni per le quali il simbolo di limite si può portare da “fuori” a “dentro” il simbolo di
funzione, e viceversa. La frasetta dev’essere
utilizzata come un rimando all’uguaglianza (*): insomma, lo “slogan” condensa
l’affermazione che “una funzione è
continua in un punto se e solo se per la vale l’uguaglianza (1), comunque si prenda una
funzione che
tende a ” (NOTA). La proposizione si
ricorda bene se si pensa che generalizza l’ovvia biimplicazione seguente: NOTA: abbiamo appena fatto vedere che, se è continua in ,
allora,
qualunque sia la funzione tendente a ,
vale la (1); se,
viceversa, per una data funzione vale la (1) qualunque sia la funzione tendente a ,
allora,
preso il caso particolare ,
e facendo tendere a (da cui ), avremo quindi la sarà
continua in .
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COROLLARIO 2
Una
funzione della forma ,
se e sono continue ciascuna sul proprio dominio,
è continua sul suo dominio; in particolare,
una potenza ad esponente
irrazionale è una funzione continua su tutto il suo
dominio.
Dimostrazione Immediatamente
deducibile dal Teorema sul Limite della Funzione Composta utilizzando l’
identità e tenendo presenti
teoremi già acquisiti, in particolare la continuità della funzione
logaritmica. |