11.  LIMITI DI FUNZIONI ALGEBRICHE (=POLINOMI, RAPPORTI DI POLINOMI, RADICALI)

La definizione generale di “funzione algebrica” non è semplicissima, e non vogliamo occuparcene qui.

Comunque, sono “algebriche”, fra l’altro, tutte le funzioni nella cui espressione compaiono esclusivamente

operazioni “algebriche” ossia addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni, potenze, radici, mentre

sono dette “trascendenti” le funzioni costruite attraverso logaritmi, esponenziali, funzioni goniometriche.

Fra le funzioni algebriche di utilizzo più comune ci sono

q    i polinomi (=funzioni algebriche razionali “intere”)

q    i rapporti di polinomi (=funzioni algebriche razionali “fratte”, ossia “con la x a denominatore”)

q    le funzioni algebriche irrazionali, ossia quelle nelle quali x compare almeno una volta sotto radice.

Regola per il calcolo del limite di un polinomio, quando   o  

Al tendere di  a  o , un polinomio  tende sempre all’INFINITO.

E per stabilire il segno di questo infinito, si può procedere in due modi:

·         raccogliere  elevato all’esponente più alto

• considerare esclusivamente il comportamento del termine di grado massimo  (occorrerà

tenere conto del segno del coeff. e, qualora  tenda a , della parità o disparità dell’esponente)

Infatti   

q    Il contenuto della parentesi tende dunque ad  ;

q    il fattore esterno  tende a , precisamente:  

Il valore del limite

    a)  sarà perciò infinito

    b)  avrà un segno determinato da considerazioni molto elementari, illustrate dagli esempi che seguono

c)  coinciderà sempre con il valore di

Regola per il calcolo del limite di un rapporto di polinomi, quando   o  

Il valore del  può essere:

  a)  se prevale il grado del numeratore: , con un segno determinato dalla “regola dei segni”

       applicata considerando soltanto i termini di grado massimo a numeratore e denominatore

       (occorrerà tenere conto dei segni dei coefficienti

        e, qualora  tenda a , della parità o disparità della differenza fra gli esponenti)

  b)  se prevale il grado del denominatore:

  c)  se num. e denom. hanno ugual grado:  ( = rapporto tra i coeff. dei due termini di grado massimo)

Più ancora della catena sopra riportata, ti saranno da guida i seguenti esempi.

Regola per il calcolo del limite di un rapporto di polinomi, quando  

In questo caso, il calcolo del limite

è immediato ogniqualvolta, sostituendo  al posto di , il denominatore sia diverso da 0.

Se poi con  si annulla soltanto il denominatore, il limite è infinito

e per stabilire il segno di questo infinito si dovrà generalmente distinguere fra limite sinistro e destro;

a tale scopo, sarà di norma conveniente scomporre in fattori il denominatore, se è di grado sup. al 1°.

Ma può, eccezionalmente, presentarsi una Forma di Indecisione:

ciò avviene nel caso in cui, con , si annullino contemporaneamente sia il num. che il denom.:

.

Quando accade ciò, compare una F.I.  [0/0], che si scioglie sempre per scomposizione e semplificazione. Infatti:

• essendo , per il Teorema del Resto il polinomio  è divisibile per il binomio

e quindi è scomponibile in un prodotto della forma

• ed essendo , per il Teorema del Resto il polinomio  è divisibile per il binomio

e quindi è scomponibile in un prodotto della forma

… cosicché si avrà  con la possibilità di semplificare per .

Qualche esempio dei vari tipi:

INDICAZIONE GENERALE SULLE FORME DI INDECISIONE FIN QUI VISTE

IMPORTANTE!

IMPORTANTE!

Diciamo che, in linea di principio,

le forme di indecisione  e  si affrontano

“raccogliendo il termine di esponente maggiore

o, comunque, quello che tende a infinito più rapidamente”,

mentre per le forme di indecisione  

“si va a cercare una semplificazione”, attraverso fattorizzazioni, o razionalizzazioni,

o previa moltiplicazione di numeratore e denominatore per una stessa espressione.

Naturalmente, nella pratica si terrà sempre conto di limiti noti già studiati in passato.

Abbiamo qui una F. I.  ;

tuttavia, abbiamo fiducia che nel “conflitto” prevalga  rispetto a , perché la radice cubica,

al tendere all’infinito del radicando, tende all’infinito più rapidamente rispetto alla radice quarta.

Ci aspettiamo dunque che il limite valga .

Comunque, per maggiore sicurezza, possiamo procedere come abbiamo fatto nel caso dei polinomi,

quando abbiamo raccolto x elevata all’esponente massimo:

essendo  e  , l’esponente massimo è 1/3 e raccoglieremo quindi .

NOTA 1

Qui siamo di fronte a un

“polinomio con esponenti frazionari”

e, siccome ,

abbiamo fiducia che prevalga

il termine ,

trascinando il limite a .

Comunque, per maggior sicurezza,

procediamo raccogliendo x

elevata all’esponente più alto.

   Immediato: non si trattava di una Forma di Indecisione

NOTA 2:  F.I. 

NOTA 3:  Importantissimo ricordare che  .

L’uguaglianza senza il valore assoluto, ossia la ,

sussiste soltanto quando si sa che è  

(o quando si vogliono considerare solo valori di x che siano   );

invece l’uguaglianza    è valida senza condizioni.

Noi, a dire il vero, nel passaggio successivo scioglieremo

il valore assoluto,  proprio per il fatto che, essendo  ,

nel nostro contesto è lecito supporre x positiva; tuttavia

abbiamo preferito non saltare il passaggio col valore assoluto,

che sarà fondamentale negli esercizi in cui .

NOTA 4:  Si può scrivere x al posto di  perché,

essendo , possiamo supporre x positivo

(= possiamo limitarci a considerare solamente i valori positivi di x).

NOTA 4

Come già per il limite precedente,

è  

quindi si può scrivere x

al posto di

Contrariamente all’esercizio precedente, la F.I. non si è sciolta, ma si è invece trasformata in un’altra F.I.

Siamo costretti a riprendere il limite daccapo, risolvendolo con una strategia diversa.

Nell’esercizio seguente, a, b sono due costanti reali:

INDICAZIONE GENERALE SULLE FORME DI INDECISIONE FIN QUI VISTE

IMPORTANTE!

IMPORTANTE!

Diciamo che, in linea di principio,

le forme di indecisione  e  

si affrontano “raccogliendo il termine di esponente maggiore

o, comunque, quello che tende a infinito più rapidamente”,

mentre per le forme di indecisione  

“si va a cercare una semplificazione”, attraverso fattorizzazioni, o razionalizzazioni,

o previa moltiplicazione di numeratore e denominatore per una stessa espressione.

Naturalmente, nella pratica si terrà sempre conto di limiti noti già studiati in passato.

Gli esempi successivi, oltre a quelli già visti, illustrano e confermano quanto detto.

    E’ una F. I.  .

Il numeratore può essere scritto come   e quindi pensato come un “polinomio” di “grado” 1/2

(abbiamo usato le virgolette perché, dati gli esponenti frazionari,

 si dovrebbe piuttosto parlare di pseudo-polinomio, e pseudo-grado).

Il denominatore può essere scritto come   e il suo “grado” è quindi 2/3.

Prevale il “grado” del denominatore e la frazione DOVREBBE perciò tendere a 0.

Per confermare questa nostra congettura, operiamo come con un rapporto di polinomi “classici”,

raccogliendo sia a numeratore che a denominatore x elevato all’esponente massimo.

Possiamo fare un “pronostico” sul valore di questo limite ragionando come segue:

poiché , nel radicale  il termine +1 si fa irrilevante e si avrà 

e così pure nel radicale  il contributo di x appare trascurabile rispetto al termine “caratterizzante” ,

per cui sarà .  E allo stesso modo, a denominatore, .

Pertanto IPOTIZZIAMO che risulti

D’altra parte, un tal ragionamento non può pretendere di essere rigoroso e necessita di una conferma formale.

ATTENZIONE, INFATTI:

se ci fossimo fidati di congetture di questo tipo, di fronte al precedente esercizio

avremmo potuto ritenere erroneamente che il limite fosse uguale a 0, mentre si è poi trovato che vale  .

Procediamo pertanto per raccoglimenti:

NOTA 1 :   per cui 

Vediamo ora come cambiano le cose se si prende la stessa frazione di prima

ma si fa tendere x a  anziché a :

NOTA 2:    per cui 

Il precedente esercizio avrebbe potuto anche essere svolto coi passaggi che seguono:

NOTA 3:

Qui ,

perciò    

e 

L’ultimo esercizio avrebbe potuto anche essere svolto coi passaggi seguenti:

NOTA 4:

Poiché , è ; sarebbe dunque sbagliato, in questo contesto, scrivere  !

Infatti tale uguaglianza avrebbe il primo membro negativo

e il secondo membro positivo in quanto risultato di un’estrazione di radice quadrata.

In pratica, solamente un’espressione positiva si può trasformare nella radice del suo quadrato:

per questo motivo, volendo portare l’espressione negativa  sotto radice, scriveremo .