I LIMITI

12. LIMITI DI FUNZIONI TRASCENDENTI, LIMITI “NOTEVOLI”

FUNZIONI GONIOMETRICHE

LIMITE NOTEVOLE:

Dimostrazione

Prima di tutto, osserviamo che la funzione è pari: infatti

Pertanto il grafico della funzione è simmetrico rispetto all’asse delle ordinate

e da ciò si trae che basterà dimostrare la relazione

Consideriamo dunque un valore di positivo (e sufficientemente piccolo: per lo meno minore di ),

e consideriamo la figura seguente:

NOTA:

era già stata giustificata nel corso

della dimostrazione del limite .

In quanto alla disuguaglianza ,

essa può essere giustificata nel modo seguente:

Abbiamo:

e vale la doppia disuguaglianza (vedi NOTA accanto alla figura):

ossia

da cui, dividendo per (stiamo supponendo positivo, quindi i versi rimangono invariati):

e passando ai reciproci

(il che è possibile, perché le tre quantità in gioco sono >0, ma come è noto comporta un cambiamento di verso):

ovvero, trascrivendo da destra verso sinistra:

Ora, per , il 1° anello della catena ( ) tende a 1; l’ultimo è addirittura costantemente uguale a 1;

quindi, per il “Teorema “dei Due Carabinieri”, segue la tesi.

UN ALTRO LIMITE NOTEVOLE:

Dimostrazione:

Esempi (potrai notare che in essi si applica anche quello che abbiamo chiamato il “Teorema di Sostituzione”)

INDICAZIONE GENERALE SULLE FORME DI INDECISIONE FIN QUI VISTE

IMPORTANTE!

Diciamo che, in linea di principio,

le forme di indecisione e

si affrontano “raccogliendo il termine di esponente maggiore

o, comunque, quello che tende a infinito più rapidamente”,

mentre per le forme di indecisione

“si va a cercare una semplificazione”, attraverso fattorizzazioni, o razionalizzazioni,

o previa moltiplicazione di numeratore e denominatore per una stessa espressione.

Naturalmente, nella pratica si terrà sempre conto di limiti noti già studiati in passato.

Negli esempi che seguono verrà anche applicato, esplicitamente o implicitamente,

il “teorema di sostituzione”.

ESERCIZI SVOLTI SUI LIMITI NOTEVOLI ,

Abbiamo scritto sottintendendo una sostituzione di variabile:

Si può parlare di sostituzione “implicita” di variabile. Ce ne serviremo sovente.

Abbiamo diviso numeratore e denominatore per x

(proprietà invariantiva)

e utilizzato il ricavato appena sopra

ESERCIZI







RISPOSTE

NUOVE FORME DI INDECISIONE (CON POTENZE)

Oltre alle F.I. già rilevate in passato, ci si può rendere conto che ne esistono altre,

legate alle potenze .

Esse sono:

Cerchiamo di comprendere il motivo per cui si tratta di “Forme di Indecisione”.

Abbiamo una funzione della forma , con e

Il tendere a 0 della base “vorrebbe” far tendere la potenza:

· a 0, in caso di esponente positivo;

· a , in caso di esponente negativo.

D’altra parte c’è anche il tendere a 0 dell’esponente, che “vorrebbe” invece far tendere la potenza a 1.

Il “conflitto” è responsabile dell’indecisione.

Qui abbiamo una funzione della forma , con e

La base tende a , e questo “vorrebbe” far tendere la potenza:

· a , in caso di esponente positivo;

· a 0, in caso di esponente negativo.

Ma c’è anche, nello stesso tempo,

il tendere a 0 dell’esponente, che “vorrebbe” invece far tendere la potenza a 1.

Il “conflitto” è responsabile dell’indecisione.

Abbiamo una funzione della forma , con e

Il tendere a 1 della base “vorrebbe” far tendere la potenza a 1;

d’altra parte, appunto, la base non è UGUALE a 1, bensì è “VICINA” a 1.

· Se è leggermente superiore a 1,

il tendere all’infinito dell’esponente “vorrebbe” far tendere la potenza:

ü a , se l’esponente tende all’infinito positivo;

ü a , se l’esponente tende all’infinito negativo;

si ha comunque, in entrambi i casi, un conflitto rispetto a quella “propensione” a tendere a 1,

di cui si parlava all’inizio.

· Se è leggermente inferiore a 1,

il tendere all’infinito dell’esponente “vorrebbe” far tendere la potenza:

ü a , se l’esponente tende all’infinito positivo;

ü a , se l’esponente tende all’infinito negativo;

si ha in ognuno dei due casi un conflitto rispetto a quella “propensione” a tendere a 1,

di cui si parlava all’inizio.

E a questo punto, scusatemi un attimo soltanto, perché devo fare un salto in banca.
Un problema di soldi porta al numero di Nepéro .

Cosa vuol dire depositare euro “all’interesse annuo del 5%” ?

Vuol dire che la cifra depositata (il “capitale”, o “montante iniziale”),

dopo 12 mesi esatti frutterà un interesse uguale ai 5/100 di 1000, ossia , cioè un interesse di euro .

In quel momento, il “montante” salirà dunque a euro .

Dopo altri 12 mesi, la banca verserà al cliente un nuovo interesse, ottenuto dal calcolo

e il montante salirà a euro .

(In realtà, gli interessi vengono “capitalizzati”, cioè vengono aggiunti al montante

per dar luogo al nuovo montante più alto su cui verrà calcolato il nuovo interesse,

non a intervalli di 12 mesi a partire dall’apertura del conto bancario,

bensì - in genere - a scadenze diverse che dipendono dal contratto banca/cliente.

Comunque tu puoi, per meglio fissare le idee, riconfermare alla lettera il discorso fatto prima,

semplicemente supponendo che la somma iniziale di euro sia stata depositata proprio il 1° di Gennaio

e che la “capitalizzazione” avvenga al termine di ogni anno solare

(in tutto il discorso, per mitigarne la complessità, introdurremo qualche ipotesi piuttosto poco “realistica”,

che ti prego di valutare con elasticità ed “indulgenza”).

Adesso poniamo uguale a il montante iniziale.

Indichiamo con l’interesse percentuale (nell’esempio di partenza era ).

Dopo 1 anno ...??? Allo scadere di 1 anno avremo un montante uguale a :

possiamo anche dire che in 1 anno il montante, che valeva inizialmente 1,

subisce una moltiplicazione per

Dopo 2 anni ...??? Allo scadere di 2 anni il nuovo montante verrà a sua volta moltiplicato per

perché a quello che è il nuovo montante andranno aggiunti gli interessi

calcolati su QUEL montante, che ammontano a , quindi avremo

Dopo 3 anni ...??? Allo scadere di 3 anni il nuovo montante verrà a sua volta moltiplicato per

e si avrà il montante

Dopo anni ...??? Allo scadere di anni il montante varrà

Ho depositato, oggi 1° Gennaio, un montante 1.

Se dopo 6 mesi esatti volessi estinguere il conto, cosa ritirerei?

Ritirerei , perché invece dell’interesse

(che avrei ottenuto se avessi lasciato i soldi sul conto per 12 mesi) la banca me ne darebbe solo la metà.

Ma a questo punto ho un’idea.

Per far fruttare meglio i miei soldi, farò così:

estinguerò il conto dopo 6 mesi, ritirerò il montante ,

riaprirò un nuovo conto depositando questa somma

e per i rimanenti 6 mesi dell’anno percepirò un interesse calcolato non più sul montante 1,

ma sul montante superiore !

Alla fine dei 12 mesi, il mio montante sarà maggiore che se io avessi lasciato “dormire”

il montante 1 per tutto l’anno, senza compiere l’operazione intermedia!

Questo peraltro da un punto di vista pratico non è così semplice:

infatti, ogniqualvolta si estingue un conto, si deve pagare una certa somma di denaro alla banca

per il lavoro che gli impiegati devono fare riguardo alle procedure di chiusura,

e analogamente avviene quando si apre un nuovo conto,

per cui, viste le due “cifre fisse” da pagare per la doppia operazione

(estinzione del conto vecchio/apertura del nuovo),

bisogna vedere se la “furbata” sarebbe conveniente.

Ma facciamo finta che tali tariffe fisse di apertura e chiusura del conto siano nulle.

Pensiamo insomma a cosa accadrebbe se la banca ci desse la possibilità di “capitalizzare istantaneamente”,

a “costo zero”, gli interessi, cioè:

frazionasse l’anno in periodi di tempo piccolissimi, e allo scadere di ogni

aumentasse il montante dell’interesse maturato nel tempo , e così via…

come se allo scadere di ogni intervallino di tempo venisse chiuso un conto

e ne venisse aperto un altro col montante leggermente superiore - “a costo zero” , ripeto,

nel senso che supponiamo che la banca ci abbuoni le somme da pagare per l’estinzione+riapertura del conto.

Quanto percepiremmo dopo 1 anno, se la banca ci trattasse così bene?

Per rispondere a questa domanda, divideremo il periodo di tempo di 1 anno in sottoperiodi da di anno,

calcoleremo il montante maturato alla fine dell’anno (che dipenderà da ), poi faremo tendere a infinito.

Dunque, indicando con il montante dopo periodi da di anno, avremo:

Dobbiamo ora calcolare il , CHE E’ UNA FORMA DI INDECISIONE

Per semplicità, poniamo (che corrisponderebbe a un interesse “da sogno”: il 100% annuo!

Ma noi siamo a questo punto interessati all’aspetto puramente matematico della questione)

e proponiamoci di studiare il

che si presenta come una F.I.

Bene! Si può dimostrare che

vale il seguente limite notevole: dove il simbolo indica

un numero irrazionale, detto “numero di Nepéro”, le cui prime cifre decimali sono

Dimostrazione

Non la esponiamo nei particolari; citiamo solamente gli strumenti matematici che consentono di effettuarla.

Si può provare che la successione è:

· strettamente crescente

· e superiormente limitata

Per il “Teorema di esistenza del limite delle funzioni monotone”, adattato alle “successioni”,

la successione tenderà perciò, al tendere di n a , ad un limite finito.

Tale limite viene per l’appunto indicato col simbolo .

Si dimostra che è irrazionale; anzi, è addirittura “trascendente”,

ossia non è soluzione di alcuna equazione algebrica a coefficienti razionali.

Si può poi dimostrare che, anche se al posto di una variabile discreta abbiamo una variabile continua

(e inoltre: tanto per quanto per ), risulta sempre:

Ritorniamo ora al nostro problema bancario, per determinare il . Dunque:

Ad esempio, con (interesse annuo del ), se il nostro patrimonio iniziale fosse di euro,

in regime “normale” allo scadere di 1 anno ritireremmo euro
mentre in regime di “capitalizzazione istantanea degli interessi” ritireremmo euro

LIMITI “IMPARENTATI” COL LIMITE CHE DEFINISCE IL NUMERO

Partendo dal , che possiamo scrivere come , si può dimostrare, con opportune e non difficili applicazioni del “Teorema di Sostituzione” (analogamente a quanto abbiamo fatto poc’anzi con il problema delle capitalizzazioni istantanee ad interesse ), che sussistono i seguenti limiti notevoli:




… ai quali se ne potrebbero aggiungere altri … ma tutto sommato non è assolutamente il caso, perché i limiti notevoli sopra elencati, “figli” del limite fondamentale , e tutte le varianti che si potrebbero escogitare ponendo, ad esempio, o anziché ad esponente, più che essere studiati a memoria si devono saper “ricostruire” tramite procedimenti opportuni basati sostanzialmente su sostituzioni (esplicite o, meglio implicite), così come abbiamo fatto sul problema delle capitalizzazioni istantanee ad interesse . Esempio:

ALTRI LIMITI NOTEVOLI

LIMITE NOTEVOLE:

Dimostrazione:

LIMITE NOTEVOLE:

Dimostrazione

Semplice: basta utilizzare la formule per il cambiamento di base

onde ricondursi ad un logaritmo in base , poi tener conto del limite notevole precedente.

Ricordiamo che la formula per il cambiamento di base è: e avremo:

NOTA: scambiando la base con l’argomento, il logaritmo si muta nel reciproco:

LIMITE NOTEVOLE:

Dimostrazione:

Vogliamo determinare il . Facciamo la posizione e avremo:

Al tendere di a 0, la variabile tenderà anch’essa a 0. Avremo dunque:

dove nel penultimo passaggio abbiamo sfruttato il limite notevole precedente.

LIMITE NOTEVOLE:

Dimostrazione:

dove abbiamo sfruttato, nell’ultimo passaggio, il limite precedente

effettuando una sostituzione implicita:

LIMITE NOTEVOLE:

Dimostrazione:

Con k intero positivo, la dimostrazione si potrebbe effettuare semplicemente sviluppando la potenza di binomio;

ma noi siamo interessati al caso ben più generale .

Allora, cerchiamo di ricondurci a due limiti notevoli già acquisiti, nel modo seguente:

Del limite notevole precedente, vorrei mettere in rilievo il seguente caso particolare:

… che avrebbe potuto pure essere trattato in modo autonomo, tramite “razionalizzazione del numeratore”.

C’è poi tutta una famiglia di limiti notevoli, che esprimono, per così dire, la “maggior forza” della funzione esponenziale e la “maggior debolezza” della funzione logaritmica, rispetto a qualsiasi funzione algebrica. Per quanto riguarda le dimostrazioni, si potrebbero effettuare fin da questo momento, ma con una certa fatica. Noi preferiamo invece rinviarle, perché, quando più avanti avremo acquisito il Teorema di De l’Hospital (realmente strepitoso!) gli stessi risultati si potranno stabilire molto facilmente e piacevolmente.

ESERCIZI SVOLTI SUL LIMITE NOTEVOLE

Abbiamo scritto

sottintendendo una sostituzione di variabile (sostituzione “implicita” di variabile):

Notevole, da ricordare!

NON ERA UNA FORMA DI INDECISIONE!!!

… non è che per caso avevi abboccato come un pesce

mettendoti ad applicare chissà quali artifici?

La prima cosa da fare, di fronte ad un esercizio sui limiti,

è sempre di controllare se si tratta di una F.I. oppure no.

NOTA:

ESERCIZI SVOLTI

SUI LIMITI NOTEVOLI

LA RISOLUZIONE DELLE FORME DI INDECISIONE

Mentre le forme vanno di norma ricondotte al limite notevole che definisce il numero ,

di fronte a una o a una conviene in generale applicare l’identità

dopodiché basterà sciogliere, ad esponente,

una F.I. relativa al prodotto di due funzioni,

come illustrato dagli esempi seguenti.

Ora ad esponente abbiamo

e potremo sciogliere l’indecisione,

per quanto riguarda l’esponente,

come segue:

da cui

Ora ad esponente abbiamo

e potremo sciogliere l’indecisione sull’esponente così:

da cui

ESERCIZI







RISPOSTE