13. UNA RACCOLTA CONCLUSIVA DI ESERCIZI SVOLTI |
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Diciamo che, in linea di principio,
le F.I. e si affrontano “raccogliendo il termine di esponente maggiore o, comunque, quello che tende a infinito più rapidamente”,
mentre
per le F.I. “si va a cercare una semplificazione”, attraverso fattorizzazioni, o razionalizzazioni, o previa moltiplicazione di numeratore e denominatore per una stessa espressione.
Naturalmente, nella pratica si terrà sempre conto di limiti noti già studiati in passato.
E si potrà applicare, esplicitamente o implicitamente, il “teorema di sostituzione”.
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Per sostituzione di variabile. Poniamo ; avremo e quando , anche . Dunque:
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Allo stesso modo: |
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NOTA: , come era già noto: |
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NOTA: . Ciò è intuitivamente evidente, ma comunque dimostriamolo: ; quindi e poiché sarà anche, per il Secondo Teorema del Confronto, , c.v.d.
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Non si trattava di una Forma di Indecisione!
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Infatti . E’ ben noto che il limite, per , di un quoziente di due polinomi dello stesso grado, è uguale al rapporto dei coefficienti dei due termini di grado massimo |
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L’esercizio qui a fianco è piuttosto complicato; va detto comunque che potrebbe essere svolto in pochi secondi conoscendo il Teorema di De l’Hospital. In esso non entrano in gioco limiti notevoli, in quanto non è bensì . Le due costanti vanno supposte positive: .
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. Applicando la nota identità avremo: .
Ma per quanto riguarda l’esponente:
da cui |
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Ma è da cui |
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