LE SUCCESSIONI
1. COS’E’ UNA “SUCCESSIONE” |
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La sequenza costituisce un esempio di SUCCESSIONE.
Ecco un altro esempio di successione:
Una successione è dunque una sequenza infinita di numeri reali (ma potrebbe trattarsi anche di oggetti di altra natura: vettori, funzioni, numeri complessi, figure geometriche...), ciascuno indicabile per mezzo di una lettera (noi nei nostri due esempi abbiamo scelto la lettera ) munita di un indice, il quale indice potrà assumere i suoi valori in (insieme dei numeri naturali), oppure in un sottoinsieme infinito di .
Nel seguente terzo esempio di successione, i termini sono numeri complessi:
E infine un quarto esempio. Questa volta ciascun termine della successione è una funzione:
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Nel seguito ci occuperemo esclusivamente di successioni i cui termini siano numeri (si parla di “successioni numeriche”); anzi, supporremo sempre che si tratti di numeri reali (come nei primi due esempi). Inoltre, per semplicità, considereremo esclusivamente successioni definite su , oppure su ( senza lo 0). |
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Una successione può essere dunque interpretata come UNA FUNZIONE AVENTE COME DOMINIO L’INSIEME DEI NUMERI NATURALI, O UN SUO SOTTOINSIEME INFINITO D: ad ogni numero naturale n del dominio corrisponde uno ed un solo ben determinato “termine” (o “elemento”) della successione, per indicare il quale si può usare una lettera fissata dell’alfabeto, munita dell’indice n (es. )
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Per visualizzare graficamente una successione, abbiamo sostanzialmente a disposizione due metodi. Ognuno presenta vantaggi e svantaggi. Li illustriamo nel seguente esempio, con riferimento alla successione di termine generale : |
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Questo tipo di visualizzazione mette bene in evidenza il fatto che una successione è una funzione: a ogni numero naturale (in questo caso, non nullo) n, corrisponde uno e un solo ben determinato valore . Il dominio della funzione è . La differenza rispetto alle “normali” funzioni è che in una successione non abbiamo una variabile CONTINUA , ma una variabile DISCRETA n. Emerge anche con efficacia che, al tendere di n all’infinito, il corrispondente termine tende a 0.
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Quest’altra visualizzazione mette bene in evidenza il fatto che i termini della successione costituiscono un insieme numerico: l’insieme .
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La figura mostra anche molto chiaramente che l’insieme ammette il punto 0 come punto di accumulazione non appartenente all’insieme).
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Si dice “progressione aritmetica” una successione di numeri tali che la differenza fra ciascuno di essi e il precedente sia costante (quindi ciascun termine è ottenibile dal precedente addizionandogli una costante).
La differenza costante tra ogni termine di una progressione aritmetica e il precedente si dice “ragione” della progressione (indicheremo la ragione col simbolo , dall’iniziale di “differenza”).
ESEMPI
La successione è una progressione aritmetica di ragione . La successione è una progressione aritmetica di ragione .
Data una progressione aritmetica di ragione , è facilissimo verificare che valgono le seguenti uguaglianze:
Se di una progressione aritmetica consideriamo soltanto un numero finito di termini consecutivi (ad esempio, soltanto i primi n termini), parleremo di progressione aritmetica finita.
Sussiste il seguente TEOREMA
La somma dei termini di una progressione aritmetica finita è uguale alla semisomma dei termini estremi moltiplicata per il numero dei termini:
Dimostrazione La tecnica dimostrativa è perfettamente analoga a quella seguita per ricavare la “Formula di Gauss” per la somma degli interi da 1 a n: . Dunque:
dove risulta per il fatto che e così per tutte le altre coppie di termini in colonna:
Se ora consideriamo che avremo C.V.D.
ESERCIZI di applicazione del teorema
Verificare che 1) la somma dei primi n numeri dispari: è uguale a 2) la somma dei primi n numeri pari: è uguale a
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Si dice “progressione geometrica” una successione di numeri tali che il rapporto fra ciascuno di essi e il precedente sia costante (quindi ciascun termine è ottenibile dal precedente moltiplicandolo per una costante).
Il rapporto costante tra ogni termine (escludendo, ovviamente, il primo) e il precedente si dice “ragione” della progressione: lo indicheremo col simbolo .
ESEMPI La successione è una progressione geometrica di ragione . La successione è una progressione geometrica di ragione .
Se la ragione q vale 1 i termini sono tutti uguali; escluderemo perciò questo caso, privo di interesse. Se la ragione è positiva tutti i termini sono dello stesso segno; se è negativa, i termini hanno segno alterno. Noi supporremo sempre, per semplicità, che la ragione q sia positiva e che tutti i termini siano positivi; ciò che diremo potrà essere in qualche modo poi “adattato” al caso in cui i termini abbiano segno alterno, ma adattamenti di questo genere saranno lasciati al lettore.
Data una progressione geometrica di ragione , è facilissimo verificare che valgono le seguenti uguaglianze:
e, più in generale,
Se di una progressione geometrica consideriamo soltanto un numero finito di termini consecutivi (ad esempio, soltanto i primi n termini), parleremo di progressione geometrica finita.
· Determiniamo ora il valore della somma dei termini di una progressione geometrica finita.
Cominciamo con l’osservare che
quindi il problema si riconduce a quello del calcolo della somma .
Come si può facilmente verificare, vale la formula di scomposizione
e tale formula è vera per tutti gli (NOTA) NOTA: Avevamo scritto che, con n pari, quando il nostro obiettivo è di scomporre “ad oltranza” il binomio , l’applicazione della formula è poco conveniente, ed è consigliabile piuttosto iniziare con una “scomposizione come differenza di quadrati”. Ma non è una scomposizione “ad oltranza” che ci interessa in questo momento.
Ora, applicando la formula con e , avremo:
da cui .
In definitiva, la somma dei termini di una progressione geometrica finita di ragione q (oppure: la somma dei primi n termini di una progressione geometrica di ragione q) è
ESERCIZIO Verifica che il prodotto dei termini di una progressione geometrica finita vale
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3. SUCCESSIONI MONOTONE (CRESCENTI O DECRESCENTI); LIMITE DI UNA SUCCESSIONE |
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· SUCCESSIONI CRESCENTI E DECRESCENTI
Una successione si dice crescente (risp.: decrescente) se, per ogni (o, eventualmente, ) è (risp.: ). Se al posto di <, > scriviamo , otteniamo le def. di successione crescente (decrescente) “in senso lato”. Ad esempio, la successione è decrescente (in senso stretto).
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· Successioni limitate e illimitate; estremo superiore e inferiore di una successione; eventuale massimo e minimo di una successione
Tutti questi termini vanno riferiti all’insieme numerico costituito dai termini della successione considerata. Ad esempio, la successione è limitata sia inferiormente (il suo estremo inferiore è 0) che superiormente (il suo estremo superiore, che ne è anche il massimo, è 1).
Invece la successione è limitata inferiormente, con estremo inferiore 0 che ne è anche il minimo, ma è illimitata superiormente (l’estremo superiore è ).
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· LIMITE DI UNA SUCCESSIONE
Una successione, come abbiamo visto, può essere pensata come una particolare funzione: una funzione il cui dominio sia o un suo sottoinsieme infinito (noi prenderemo sempre come dominio oppure ). Spesso interessa chiedersi a quale valore tende quando n diventa “molto grande”, “tende all’infinito”. Ad esempio, è del tutto spontaneo affermare che la successione tende a 0 al tendere di n a mentre la successione tende a 1 quando . |
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Prima di tutto, osserviamo che il tendere a di n (variabile “discreta”) è, sotto un certo aspetto, diverso dal tendere a di una variabile “continua” x; la variabile discreta assume solo CERTI valori, crescendo “a scatti”, “a salti”, mentre una variabile continua cresce assumendo TUTTI i valori intermedi. Per il resto, però, nulla cambia nell’idea di base che ci conduce alla nozione di limite: abbiamo una variabile indipendente n (discreta anziché continua), a cui facciamo assumere valori arbitrariamente alti, e ci chiediamo che valore tende ad assumere il corrispondente termine della successione. La definizione precisa di “limite di una successione quando n tende a ” dovrà essere, quindi, perfettamente analoga a quella di “limite di una funzione quando x tende a ”. Occorrerà soltanto qualche piccolo adattamento.
Aggiungiamo una banalissima osservazione: nel caso di una variabile discreta n, i cui valori possono essere soltanto numeri naturali, sarebbe assurdo pensare di far tendere n a , oppure ad un valore finito: questo è ben ovvio! Quindi, evidentemente, le uniche definizioni che ci interesseranno saranno quelle di “limite (finito o infinito) di una successione, quando n tende a ”. E per brevità, non essendo possibili equivoci, al posto di scriveremo semplicemente .
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DE FI NI ZIO NI |
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Una successione si dice: · CONVERGENTE se tende ad un limite finito, · DIVERGENTE se tende a infinito, · INDETERMINATA se non tende ad alcun limite.
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Esempio: verificare, applicando la definizione, che la successione tende a 1 per . Impostiamo la disequazione con l’obiettivo di mostrare che esiste un numero naturale tale che essa sia verificata per tutti gli .
Pertanto la verifica richiesta è positivamente conclusa: si può prendere come un qualsiasi intero fra quelli non inferiori al numero . |
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TEOREMI SUI LIMITI DI SUCCESSIONI Estendono la loro validità alle successioni, purché si apportino lievi ed ovvie modifiche agli enunciati, i teoremi validi per i limiti delle funzioni. Citiamo in particolare: · Teorema di unicità del limite: Se una successione, per , tende ad un limite (finito o infinito), questo limite è unico · Teorema della permanenza del segno: Se una successione , per , tende ad un limite (finito o infinito) diverso da 0, allora esiste un indice tale che, , il termine mantiene lo stesso segno del limite · Teoremi del confronto Se esiste un indice tale che, , si ha , e inoltre , allora è anche … ed enunciati analoghi agli altri due teoremi del confronto dimostrati per le funzioni · Teorema sull’esistenza del limite delle successioni monotone: Se una successione è monotona (crescente o decrescente), in senso stretto o in senso lato, allora esiste certamente il , e tale limite è uguale all’estremo superiore (se la succ. è crescente) o inferiore (se la succ. è decrescente) dell’insieme numerico . · I teoremi sul limite di una somma, di un prodotto, di un quoziente Per inciso, date due succ. e , per loro “somma” si intende la succ. di termine generale . Analogamente per la differenza, il prodotto e il quoziente. · I teoremi sintetizzati da “pseudo-uguaglianze” (es. … ). · Anche per le successioni valgono le stesse “forme di indecisione” già riscontrate per le funzioni.
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q E’ ESTREMAMENTE UTILE il seguente TEOREMA, che permette di estendere, in un sol colpo, alle successioni, un mucchio di risultati già acquisiti per le funzioni:
«Data una successione , e presa una funzione tale che i suoi valori quando x è intero positivo coincidano con quelli della successione, ossia: tale che si abbia , allora, se esiste il , sarà anche »
OSSERVAZIONE
Il teorema vale anche se l’uguaglianza vale soltanto “da un certo indice in poi”!
Esempio di applicazione - Determinare il . Si tratta di una F.I. , ma, considerata la funzione la quale, per valori interi positivi di x, assume gli stessi valori della successione data, poiché si ha , sarà pure .
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