I LIMITI
1. UNA RAPIDA INTRODUZIONE |
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Nella
funzione quando x diventa grande grande ( la y corrispondente diventa piccola piccola, “si schiaccia a zero”, si avvicina “moltissimo” a 0.
Ciò può essere espresso, in simboli, con la scrittura
che si legge: |
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“tende” significa “si avvicina” |
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“il
limite, per x che tende a |
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Cosa devo guardare, intuitivamente, per determinare un limite? |
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1) Posso guardare il grafico …
Faccio tendere x a ossia mi sposto, sull’asse x, molto ma molto a destra … … e vedo cosa fa la y. In questo caso, la y corrispondente diventa piccola piccola! Tende a 0! Il limite è 0. |
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2) Oppure, anche senza grafico, faccio assumere alla x valori molto ma molto grandi e mi chiedo quali valori assume la y corrispondente. Tali valori della y sono piccolissimi! Il limite è dunque 0.
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Ma dopo questa brevissima introduzione intuitiva, quei verbi, avverbi e aggettivi che abbiamo utilizzato (“tendere”, “avvicinarsi”, “moltissimo”, “piccola”, “grande” …) dovranno essere meglio precisati e, soprattutto, inequivocabilmente QUANTIFICATI.
Inoltre le situazioni in cui si può parlare di “limite” sono assai svariate, e quell’ “avvicinarsi”, quel “tendere”, della y ad un certo valore, può realizzarsi in modalità fra loro differenti.
Abbi pazienza, ti sottoporrò ora una sequenza di ESEMPI, che saranno un “ANTIPASTO” PREZIOSO, PRIMA DI ARRIVARE ALLA DEFINIZIONE, perché ti faranno entrare a contatto con le curiose problematiche in gioco e ti permetteranno così di capire per qual motivo, nonostante questioni di questo tipo si siano presentate agli studiosi fin dall’antichità classica, una definizione soddisfacente di “limite” sia emersa soltanto nel XIX secolo, a coronamento di un’avventura intellettuale millenaria, appassionante quanto impegnativa. |
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A r c h i m e d e |
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N e w t o n |
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W e i e r s t r a s s |
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2. UNA RASSEGNA DI ESEMPI |
Esempio 1
Fra le molte affascinanti formule che
nota la lunghezza del lato del poligono regolare di n lati, inscritto in una circonferenza di raggio
,
di ricavare la lunghezza del lato del poligono regolare inscritto,
avente numero di lati doppio.
Tale formula, ricavabile utilizzando in modo opportuno
i teoremi di Pitagora e di Euclide, è la seguente:
Supponiamo che la
nostra circonferenza abbia raggio unitario: prendiamo, insomma, .
Partiamo dall’esagono
regolare inscritto: .
E’ noto che il
lato dell’esagono regolare inscritto è uguale al raggio: si ha dunque .
Bene! Applicando
ora la formula, potremo subito ricavare la misura del lato del dodecagono
regolare inscritto:
E iterando il
procedimento, saremo poi in grado di calcolare le lunghezze
dei lati dei
poligoni regolari inscritti, aventi 24 lati, 48 lati, 96 lati … :
Nella tabella
seguente ci siamo serviti della conoscenza di
per ricavare i perimetri
dei rispettivi poligoni:
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n |
lato |
perimetro |
n |
lato |
perimetro |
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6 |
1 |
6 |
768 |
0,008181208… |
6,283167784… |
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12 |
0,51763809… |
6,211657082… |
1536 |
0,004090613… |
6,283180926… |
|
|
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24 |
0,261052384… |
6,265257227… |
3072 |
0,002045307… |
6,283184212… |
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48 |
0,130806258… |
6,278700406… |
6144 |
0,001022654… |
6,283185033… |
|
|
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96 |
0,065438166… |
6,282063902… |
12288 |
0,000511327… |
6,283185237… |
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192 |
0,032723463… |
6,282904945… |
… |
… |
… |
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384 |
0,016362279… |
6,283115216… |
… |
… |
… |
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La tabella mostra che quando il numero di lati diventa molto
alto, il valore del perimetro, pur aumentando sempre, presenta una tendenza a “stabilizzarsi” in prossimità di un valore leggermente superiore a 6,28. Ciò è perfettamente comprensibile se pensiamo che, all’aumentare del numero di lati, il poligono regolare inscritto tende a “riempire” sempre più il
cerchio, e quindi il suo perimetro tende ad approssimare sempre più la lunghezza della circonferenza, ossia il numero
Considerata ora
la successione |
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se si vuole indicare il fatto che
si potrà
utilizzare la scrittura:
che
si leggerà
Esempio 2
Consideriamo la successione
il cui termine generale è
I primi elementi della
successione valgono:
Cosa accade al numero quando n
diventa molto, ma molto grande?
E’ ben facile rispondere: si avvicina al valore 1. Infatti
,
e la quantità ,
al crescere di n, si fa sempre più
piccola (= tende a zero), per cui
il numero
assumerà, se
n viene preso grandissimo, valori
molto, ma molto prossimi a 1.
Possiamo
esprimere questo fatto scrivendo
Consideriamo la funzione dove x
indica la misura in radianti di un arco.
Ad
esempio, l’arco il cui angolo al centro corrispondente è di 30° misura, in
radianti, ;
e
con si ha
Ancora:
l’arco, il cui angolo al centro corrispondente misura 18° (in radianti, ),
ha
per seno la metà del lato del decagono regolare inscritto nella circonferenza
goniometrica.
Ma
dalla Geometria si conosce che il lato del decagono regolare inscritto in una
circonferenza
è
uguale alla sezione aurea del raggio (che, nel caso della circonferenza
goniometrica, è unitario);
e
la sezione aurea di un segmento si ottiene moltiplicando il segmento stesso per
il fattore .
Pertanto
con avremo
, da cui
|
Per valori
piccoli ( = prossimi a 0) dell’arco x, il segmentino quasi si
confonde con l’archetto x: il valore di leggermente
inferiore, ma molto vicino, al valore di x. Pertanto, con x molto piccolo, il valore del rapporto è molto prossimo a 1. |
|
Ad esempio, con (l’arco x
è un millesimo di radiante, ossia: l’arco x,
rettificato,
dà luogo ad un segmentino che è esattamente la
millesima parte del raggio), si ha
da cui
Il fatto che la funzione assuma valori molto prossimi a 1
quando l’arco x
è molto prossimo a 0, si può esprimere
attraverso la scrittura
che si legge
“il limite, per che tende a zero, di
,
è uguale a 1”.
Osserviamo che, mentre gli esempi 1 e 2 riguardavano
il limite di una successione ( = sequenza) numerica,
qui abbiamo invece considerato il limite di una funzione
di variabile reale.
Riprenderemo
il discorso “successioni” alla fine del capitolo,
concentrandoci
di qui in avanti sulle funzioni di variabile reale
(poco
cambia per le successioni, che possono essere considerate funzioni con dominio o
).
Se tracciamo (vedi figura
sottostante) il grafico della funzione ,
avremo che,
quando x si avvicina (stiamo “viaggiando” sull’asse delle
ascisse) al valore 0,
la y corrispondente si avvicina al valore 1.
Osserviamo che con la funzione
non è definita.
Ancora con riferimento alla
funzione ,
possiamo rilevare,
come ci suggeriscono tanto l’osservazione del grafico
quanto semplici considerazioni quantitative,
che quando ci spostiamo sull’asse x “molto a destra” (x
tendente all’infinito positivo)
oppure “molto a sinistra” (x
tendente all’infinito negativo),
la y
corrispondente continua ad andare su e giù intorno all’ordinata 0,
avvicinandosi e allontanandosi periodicamente da essa,
ma con oscillazioni smorzate, la cui ampiezza
diventa piccola a piacere.
E’ allora del tutto spontaneo
utilizzare le scritture
Poiché il tendere a 0 della funzione ,
quando x tende all’infinito positivo o negativo,
avviene “per
oscillazioni”, NON sarebbe corretto affermare
che
“quanto più x è grande in valore assoluto, tanto più il valore di è prossimo a 0”.
Al crescere di x in valore assoluto, abbiamo
una y corrispondente che si avvicina “globalmente” a 0,
ma il suo avvicinarsi a 0 NON ha un carattere “monotòno”.
Osservazioni come questa sono molto
importanti:
quando, più avanti, tenteremo di
descrivere il concetto di limite in modo generale e preciso,
il nostro compito sarà tutt’altro che
semplice, in quanto dovremo elaborare una definizione
nella quale possano rientrare anche
situazioni del tipo di quella appena considerata,
in cui la y, pur presentando quella che noi “sentiamo” essere una “tendenza
a limite”,
non mostra un comportamento
“unidirezionale”.
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Esempio 4
La figura sottostante mostra
il diagramma della funzione :
L’osservazione del grafico, accompagnata da
considerazioni di carattere quantitativo,
ci suggerisce che valgono i limiti seguenti:
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“il limite di quando x è vicinissimo a 2, il valore di nel senso che si
fa altissimo, tanto alto da “sfondare”, all’insù, qualunque tetto prefissato. Un po’ di numeri: |
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x |
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2,5 |
37 |
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2,1 |
741 |
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2,05 |
2881 |
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2,03 |
7912,… |
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2,0001 |
700040001 |
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“il limite di quando x diventa grandissimo (ci stiamo spostando, sull’asse
delle ascisse, molto a destra), allora la y corrispondente si avvicina moltissimo a 1. |
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“il limite di quando x diventa negativo ma molto grande in valore assoluto (ci stiamo
spostando, sull’asse delle ascisse, molto a sinistra), allora la y corrispondente si avvicina moltissimo a 1. |
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Consideriamo la funzione
e tracciamone il diagramma.
L’osservazione del grafico (accompagnata da
considerazioni numeriche) ci suggerisce che: |
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dove scrivere tendente a 0 “da destra”, “per valori positivi” |
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dove scrivere tendente a 0 “da sinistra”, “per valori negativi” |
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dove scrivere che il limite è che la funzione ( = la y) tende a 0 “dall’alto” |
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E’ veramente bizzarra la funzione definita nel modo seguente:
Poiché qualsiasi intervallo
della “number line” contiene sia infiniti
numeri razionali, che infiniti numeri
irrazionali, il grafico della si presenta tutto “frammentato”: se facciamo variare x sull’asse delle ascisse, assisteremo ad un frenetico “saltellare” della y corrispondente,
da una retta all’altra. |
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Cosa possiamo affermare riguardo al comportamento
della funzione, per x che
tende a 0? Facendo tendere x a 0, i “saltelli” della y sono
sempre più minuscoli come “ampiezza”: la y saltella
entro una fascia di ordinate sempre più ristretta, intorno all’ordinata 0. Anche in questo caso particolarmente strambo, appare
dunque ragionevole accettare come corretta la scrittura
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Quando dunque
ci decideremo, al termine di questa esplorazione preliminare, a dare una definizione
generale, precisa e rigorosa, del concetto di “limite”, dovremo fare
in modo che tale definizione non escluda le situazioni come quella appena
proposta. |
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Esempio 7
Il dominio di questa funzione
è .
I valori dell’ordinata y
non possono sconfinare all’esterno dell’intervallo .
Per disegnare il grafico della funzione è utile
cercarne le intersezioni con l’asse delle ascisse,
ossia risolvere l’equazione .
Quindi la y si annulla
infinite volte, e anzi si annulla infinite volte nell’intervallo fra l’ascissa 1
e l’ascissa 1.
Le ascisse in corrispondenza delle quali la y si annulla … si “addensano” intorno all’ascissa 0.
Seguiamo ora il variare
della y, quando x varia da 1 fino a 0.
q Se facciamo variare x da 1 a 1/2,
la quantità varierà da
a
e perciò, nel frattempo, dovrà assumere una volta il valore
.
q Se facciamo variare x da 1/2 a 1/3,
la quantità varierà da
a
e perciò, nel frattempo, dovrà assumere una volta il valore
.
q Se facciamo variare x da 1/3 a 1/4,
la quantità varierà da
a
e perciò, nel frattempo, dovrà assumere una volta il valore
q
… e così via …
Insomma,
facendo decrescere a partire dal valore
,
la
corrispondente assumerà, successivamente, i
valori:
Il grafico sarà perciò il
seguente (è chiaro che il prossimità dell’ascissa 0 possiamo solo
immaginarcelo!):
Di fronte ora alla scrittura
come riempiremo i puntini?
Poiché, al tendere di a 0, la
corrispondente continua ad oscillare
(con “frequenza” delle oscillazioni sempre più
frenetica)
percorrendo ad ogni oscillazione tutta la banda di ordinate tra 1
e 1,
essa non si
approssima a nessuna specifica ordinata:
appare ragionevole convenire che il limite proposto
NON ESISTE.
Per tracciare il grafico di
questa funzione, si può pensare di partire dai grafici di e di
.
Preso un valore di ,
l’ordinata corrispondente si otterrà moltiplicando le due ordinate
e
.
Ma come si modifica l’ordinata ,
allorquando viene moltiplicata alternativamente per i
valori ,
nonché per tutti i valori intermedi tra e
?
Facile:
· quando l’ordinata viene moltiplicata per
,
resta invariata
· quando viene moltiplicata per un numero compreso fra 0
e 1, diminuisce
· quando viene moltiplicata per 0, diventa uguale a 0
· quando viene moltiplicata per ,
cambia di segno diventando
· quando viene moltiplicata per un numero compreso fra 0
e ,
cambia di segno e diminuisce in valore
assoluto.
… Oppure, si può pensare a
come si modifica l’ordinata ,
allorquando viene moltiplicata per
:
· quando l’ordinata originaria è uguale a 1, dopo la
moltiplicazione diventa uguale a ;
· quando l’ordinata originaria è uguale a 0, dopo la moltiplicazione
resta uguale a 0;
· quando l’ordinata originaria è compresa fra 0 e 1,
dopo la moltiplicazione risulta compresa fra 0 e ;
· quando l’ordinata originaria è uguale a ,
dopo la moltiplicazione diventa uguale a
;
· quando l’ordinata originaria è compresa fra 0 e ,
dopo la moltiplicazione risulta compresa fra 0 e
.
Possiamo anche considerare il
fatto che
o in alternativa:
Il grafico sarà perciò quello
qui sotto raffigurato
(è chiaro che in prossimità
dell’origine possiamo solo immaginarcelo con gli occhi della mente … ):
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Di fronte ora alla scrittura
è del tutto
spontaneo convenire che il limite
valga 0. Infatti si
osserva che al tendere di la y corrispondente continua ad oscillare (con “frequenza” crescente), ma le oscillazioni hanno ampiezza sempre più piccola, cosicché finiscono per circoscriversi in fasce di ordinate sempre più ristrette, in prossimità dell’ordinata 0. |
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Questa funzione è definita
come segue: Esempi: Quando facciamo tendere l’ascissa x ad un valore intero, tento per fare un esempio a 3, dobbiamo distinguere fra “limite
sinistro” ( e “limite destro” ( |
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è definita come segue: Esempi: |
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è definita come segue: Si può anche scrivere,
equivalentemente: |
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La funzione di Dirichlet
è definita come segue: |
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