4.  IL LIMITE DAL PUNTO DI VISTA INTUITIVO: RICAPITOLIAMO

 

 

A) LIMITE FINITO PER  CHE TENDE A UN’ASCISSA FINITA

 

Consideriamo una funzione , e sia  un'ascissa fissata.

“Far tendere  a  ” significa far assumere a  valori sempre più vicini a .

Possiamo far tendere  a  

“da sinistra”…

(scriveremo  )

… oppure “da destra” …

(scriveremo  )

 

… o, ancora, quando non abbia importanza

distinguere il caso  dal caso ,

“bilateralmente”

(scriveremo  )

 

Mentre si sta facendo tendere  a , interessa stabilire

“a cosa tende (= si avvicina) il valore corrispondente di  ”.

 

 

Se accade che, quando  è molto prossima a , l’ordinata corrispondente è molto prossima ad un certo valore  

(come nel caso dell’ultima figura, nella quale, per  prossimo a 3,  è prossima a 2),

allora si scriverà  che si legge: “il limite, per  che tende a , di , è  ”

 

Quando noi pensiamo al ,

NON CI INTERESSA MINIMAMENTE COSA ACCADE PER  UGUALE A ;

anzi, con  la funzione potrebbe anche non esistere

(è questo il caso illustrato in figura, dove il pallino vuoto, il “buco”,

evidenzia proprio la non esistenza della funzione con  ).

Noi vogliamo stabilire a quale valore si avvicina la , quando   SI AVVICINA a .

E’ in esame dunque il comportamento della funzione IN PROSSIMITA’ DI , ma NON IN .

 

 

Per questa ragione, TUTTE E TRE le funzioni seguenti

sono perfettamente equivalenti dal punto di vista del limite per ,

in quanto esse differiscono solamente per il comportamento IN ,

che ai fini della determinazione del limite E’ IRRILEVANTE.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Non possiamo tuttavia a questo punto pretendere di aver DEFINITO in modo rigoroso cosa si intenda per “limite”. Con quali parole, infatti, abbiamo cercato di descrivere questo concetto? Rileggiamole:

 

«Se accade che, quando  è molto prossima a , l’ordinata corrispondente è molto prossima a un dato valore ,

allora si scriverà  che si legge: “il limite, per  che tende a , di , è  ”»

Ma adesso riflettiamo…

       cosa significa esattamente “  MOLTO PROSSIMA a  ”, “  MOLTO PROSSIMA a   ” ?

       In che senso va inteso l’avverbio “MOLTO”? Insomma: MOLTO … QUANTO?

IL NOSTRO PRIMO TENTATIVO DI DEFINIZIONE, DIFETTA CLAMOROSAMENTE IN PRECISIONE!

 

 

POTREMMO ritenere di colmare l’ambiguità esprimendoci nel modo seguente:

 

«Se accade che, quanto più  si approssima a , tanto più l’ordinata corrispondente si approssima a ,

allora si scriverà  e si leggerà: “il limite, per  che tende a , di , è  ”».

TUTTAVIA,

questa descrizione potrebbe essere adeguata

per la funzione rappresentata nella figura qui a fianco …

 

 … ma escluderebbe quei casi in cui l’avvicinamento di  a  

è “globale” ma non “unidirezionale”,

come nel caso, che abbiamo già incontrato, della funzione ,

 

per la quale abbiamo convenuto che sia ragionevole poter scrivere   

anche se l’avvicinamento della  all’ordinata 0 non ha carattere “monotòno”, ma oscillante

 

 

 

… ed escluderebbe anche il caso, ancora più anomalo, della

 

per la quale abbiamo accettato la correttezza della scrittura   

pur in presenza di un avvicinamento della  all’ordinata 0

non “monotòno”, bensì “saltellante”

 

 

 

Il problema di definire rigorosamente il “limite” è tutt’altro che semplice.

 

Lo affronteremo nel capitolo seguente (considerando, inoltre, anche i casi in cui sia coinvolto l’ “infinito”).

 

UNA DEFINIZIONE DI LIMITE, PER ESSERE SODDISFACENTE, DOVRÀ

 

♪       tradurre in modo non ambiguo e rigorosamente quantitativo

      e idee di una  “molto prossima a  ”, cui corrisponde una  “molto prossima a  ”

 

♫     richiedere non soltanto che la  si avvicini “indefinitamente” a   

(cioè: penetri in un intorno arbitrariamente piccolo di  ),

ma richiedere contemporaneamente che, purché la  sia “sufficientemente vicina” a  ,

la  corrispondente non fuoriesca più da tale intorno.

 

Come vedremo,

 

 

SI RIUSCIRÀ AD ELABORARE UNA DEFINIZIONE CORRETTA A PATTO DI

RIBALTARE L’ORDINE IN CUI VENGONO PRESI IN CONSIDERAZIONE  E :

infatti, spontaneamente si è portati a pensare

PRIMA alla  che si avvicina a , POI alla  corrispondente che si avvicina a ;

UNA DEFINIZIONE MATEMATICAMENTE INECCEPIBILE PARTIRÀ INVECE DA , PARLANDO DI

UNA  CHE SI MANTIENE VICINA A  TANTO QUANTO LO SI DESIDERA,

A PATTO DI PRENDERE  SUFFICIENTEMENTE VICINA A .

 

 

B) LIMITE INFINITO PER  CHE TENDE A UN’ASCISSA FINITA

Nel caso della funzione  rappresentata qui a fianco,

diciamo che, al tendere di  a 0, la  tende a ,

perché constatiamo che, quando  tende a 0,

la  corrispondente assume valori altissimi, arbitrariamente alti,

più alti di 1.000.000, più alti di 1.000.000.000.000.000.000, insomma:

più alti di qualsiasi "tetto" prefissato.

In generale, la scrittura

 

è utilizzata per indicare che

“al tendere di  a , la  diventa alta, altissima,

fino a portarsi al di sopra di qualsiasi “tetto” prefissato”.

La definizione rigorosa, che formuleremo nel prossimo capitolo,

esprimerà questa condizione

ribaltando l’ordine in cui vengono considerate la  e la :

la  “si mantiene al di sopra di qualsiasi tetto prefissato”,

purché  venga presa “sufficientemente vicina” a .

 

 

 

 

 

 

 

 

Se voglio che la  stia al di sopra,

tanto per fare un esempio,

del “tetto” 1000.000.000.000

(mille miliardi)

mi basta prendere valori di  

sufficientemente vicini all’ascissa 0:

precisamente, mi basta prendere  

compreso fra

  e   

(s’intende,  diverso da zero)

 

 

1

1

 

 

 

 

0,1

100

 

 

 

 

0,01

10000

 

 

 

 

0,001

1000000

 

 

 

 

0,0001

100000000

 

 

 

 

0,00001

10000000000

 

 

 

 

0,000001

1000000000000

 

 

 

 

0,0000001

100000000000000

 

 

 

 

 

 

C) LIMITE FINITO PER  CHE TENDE A INFINITO

Nel caso della funzione  rappresentata qui sotto,

diciamo che, al tendere di  a , la  tende a 2,

perché constatiamo che, quando  viene presa positiva e molto grande,

la  corrispondente assume valori molto prossimi a 2.

 

 

 

In generale, la scrittura

 

è utilizzata per indicare che “al tendere di  a , la  si avvicina all’ordinata  ”.

 

 

 

La definizione rigorosa, che daremo nel prossimo capitolo, esprimerà questa condizione

capovolgendo l’ordine in cui vengono considerate la  e la :

la  “si mantiene vicina tanto quanto noi vogliamo all’ordinata  ”,

purché  venga presa “sufficientemente vicina” a , cioè “sufficientemente grande”.

 

 

 

 

1

0,75

10

1,615384…

100

1,951456…

1000

1,995014…

10000

1,999500…

D) LIMITE INFINITO PER  CHE TENDE A INFINITO

Nel caso della funzione  

rappresentata qui a fianco, diciamo che,

al tendere di  a , la  tende a ,

perché constatiamo che,

quando  viene presa positiva e molto grande,

la  corrispondente diventa altissima,

così da oltrepassare, verso l’alto,

qualunque barriera prefissata.

 

 

 

In generale, la scrittura

 

è utilizzata per indicare che

“per  grandissima, la  assume valori grandissimi”

 

 

 

La definizione rigorosa, che daremo nel prossimo capitolo, esprimerà questa condizione

ribaltando l’ordine in cui vengono pensate la  e la :

la  si mantiene maggiore di qualsiasi numero prefissato,

purché  venga presa “sufficientemente grande”.