Supponiamo ora che  .  Quanto varrà il   ?

Si può osservare che, quando un numero vicinissimo a 4 viene diviso per un numero positivo vicinissimo a 0,

il risultato della divisione è un numero positivo grandissimo.

Ad esempio, dividere per 0,001 equivale a moltiplicare per 1000,

dividere per 0,000001 equivale a moltiplicare per 1000000 …

Avremo quindi   

Il tutto si potrebbe riassumere per mezzo della PSEUDO-UGUAGLIANZA   

IMPORTANTE:

questa scrittura  è solo un modo conciso (e, proprio per la sua concisione, efficace)

di esprimere un ragionamento ben più articolato.

Dunque: noi sappiamo bene che l'operazione , presa alla lettera, come quoziente fra il numero 4 e il numero 0,

è impossibile, priva di risultato, non definita, “illegal”.

Ma noi, in questo contesto, NON stiamo pensando a questa operazione!!!

Scrivendo  noi vogliamo solamente affermare che, se abbiamo un rapporto fra due funzioni,

e la funzione a numeratore tende a 4, mentre la funzione a denominatore tende a 0

(sottinteso: per  che tende ad un certo valore  ), allora il rapporto fra le due funzioni tende a . Insomma:

la scrittura  sostituisce l’ingombrante annotazione    

Supponiamo invece di avere due funzioni ,  che, al tendere di  a , tendano entrambe a infinito:

.  Quanto varrà il   ?

Riflettiamo. Noi stiamo studiando il comportamento della frazione .

Il tendere all’infinito del numeratore “vorrebbe” far impennare la frazione verso l’infinito …

ma il tendere all’infinito del denominatore, per contro, “vorrebbe” schiacciare la frazione verso lo zero!

Ci troviamo di fronte a una “forma conflittuale”, o, come generalmente si dice, a una

“FORMA DI INDECISIONE”

Fra le due funzioni che stanno a numeratore e a denominatore,

vincerà il “tiro alla fune” quella che tende all'infinito più rapidamente.

Il valore del limite dipenderà quindi

dalle particolari funzioni considerate:

a volte potrà “vincere” il numeratore ,

e allora il rapporto   tenderà all'infinito;

altre volte potrà invece vincere il denominatore ,

e in questo caso il rapporto  tenderà a zero;

in certi casi, poi, capita che le due funzioni  

“trovano un equilibrio”:

il limite del rapporto  sarà allora un certo numero finito e .

Può anche accadere (situazione ben rara negli esercizi),

che il limite del rapporto  non esista.

“Forma di indecisione” vuol dire che,

a priori, non si può stabilire

se esista il limite, e quanto esso valga,

applicando una regola generale

o un teorema generale;

l’indecisione si scioglierà invece

tramite procedimenti che dipendono

dalle specifiche funzioni coinvolte.

Alcuni testi scrivono

“forma indeterminata”

anziché “forma di indecisione”;

… forse sarebbe meglio parlare di

“forma inizialmente indeterminata”!

Ad esempio, chiediamoci quanto vale il  .

Al tendere di  a , sia il numeratore che il denominatore tendono a  ; si ha dunque una

.

Fra il numeratore    e il denominatore  , quale tenderà all’infinito più rapidamente?

Beh,  ha coefficienti più “robusti” … mentre  ha grado più elevato.

Ma noi dobbiamo pensare che  ,

quindi è il grado che finisce per caratterizzare la rapidità con cui l’espressione tende all’infinito.

Ad esempio, con , abbiamo  ma è !!!

Dunque, per via del grado maggiore, è più rapido il tendere all’infinito del denominatore:

e questo denominatore “vincente” riesce perciò a schiacciare il valore la frazione verso lo 0.

In definitiva avremo

.

Per convincerci ancora di più di questo fatto,

raccogliamo, sia a numeratore che a denominatore,  elevato all’esponente più alto: avremo

In generale, in una F.I.  del tipo  

con A, B polinomi di grado diverso,

il limite è

♪      0 se prevale il grado del Denominatore,

♫    infinito se prevale il grado del Numeratore.

NOTA:

i due termini   e  ,

avendo il numeratore fisso

e il denominatore tendente a infinito,

tendono a zero

(si dice, con locuzione suggestiva,

che sono termini “evanescenti”).

Ma allora, dopo la semplificazione per  

effettuata al passaggio precedente,

il numeratore tende a 7 e il denominatore,

che è il prodotto di un fattore tendente a infinito

per un fattore tendente a 1, tende all’infinito.

Dunque il limite è 0 ( , per ovvi motivi di segno).

Tutte queste considerazioni di carattere intuitivo

verranno puntualmente legittimate dai Teoremi

che saremo in grado di dimostrare quando,

a partire dal capitolo successivo,

avremo finalmente stabilito

una definizione ben fondata di “limite”.

Consideriamo invece il  

In questa F.I. , contrariamente al caso precedente, N e D hanno il medesimo grado …

Procediamo come nel caso

Precedente e avremo

Di qui si trae, anche se per ora in modo solamente intuitivo (NOTA), che

in una F.I.  del tipo  

con A, B polinomi dello stesso grado,

il valore del limite è sempre uguale

al quoziente fra i coefficienti dei due termini di grado massimo.

NOTA

Ricordiamoci che dobbiamo ancora dare una definizione rigorosa di limite”,

e che non abbiamo fin qui dimostrato alcun teorema a riguardo

(d’altronde, in assenza di una definizione precisa,

non ha neppure senso cercare eventualmente di dimostrare dei teoremi …)

Dopo aver accennato al caso , prendiamo in esame un’altra situazione interessante: la .

Occhio! NON vogliamo qui riferirci all’operazione 0/0,

che come ben sappiamo è non definita, “illegal”, in quanto “indeterminata”.

La scrittura  è qui utilizzata per indicare in modo sintetico ed efficace la situazione in cui si cerchi il , quando è .

Nella frazione  operano due forze contrastanti:

il numeratore, col suo tendere a 0, “vorrebbe” portare verso lo zero il valore della frazione;

ma nel contempo il denominatore, col proprio tendere a 0, “lavora” per far impennare la frazione verso l’infinito.

In questo “tiro alla fune”, vincerà la funzione che tende a 0 più rapidamente.

Se è  a tendere più rapidamente a zero, il limite sarà nullo;

se invece è  che tende a zero più rapidamente, il limite sarà infinito.

In altri casi il limite potrà essere finito e non nullo, oppure ancora non esistere. Insomma,

Come esempio, prendiamo il

.

Numeratore e denominatore tendono entrambi a zero;

tuttavia, basta fare un disegno della circonferenza goniometrica

per rendersi conto che, al tendere a zero dell’archetto ,

la quantità  tende a zero

con rapidità molto maggiore rispetto a .

Pertanto il limite in questione è infinito.

Considerazioni di segno ci portano a stabilire, più in dettaglio, che

La conclusione, da noi tratta un po’ “alla buona”,

con l’intuizione geometrica, è confermata

da ciò che  impareremo a partire dal capitolo successivo.

Possiamo confermare il risultato trovato anche nel modo seguente:

Va detto che, molto spesso, le Forme di Indecisione del tipo , quando  tende a un’ascissa finita,

vengono risolte attraverso una semplificazione, cui si può pervenire a seguito di una

scomposizione, o razionalizzazione, o moltiplicazione di N e D per una stessa espressione.

Consideriamo ad esempio l’esercizio seguente,

nel quale la scomposizione del denominatore è stata effettuata tramite la Regola di Ruffini:

Fin qui ci siamo occupati in particolare del QUOZIENTE  di due funzioni,

in relazione al quale abbiamo brevemente parlato delle FORME DI INDECISIONE seguenti:

Invece, sempre per quanto riguarda il quoziente ,

NON sono forme di indecisione le situazioni schematizzate dalle seguenti PSEUDO-UGUAGLIANZE:

Se il numeratore tende a un valore finito ,

mentre il denominatore tende a infinito, allora il limite è 0

Per quanto attiene al PRODOTTO , abbiamo le ovvie PSEUDO-UGUAGLIANZE

e la FORMA DI INDECISIONE

 Un fattore tende a 0, “cercando” di rendere uguale a 0 anche il prodotto;

 l’altro fattore “tira dalla parte opposta”, in quanto

 il suo tendere a infinito “cercherebbe” di far tendere all’infinito pure il prodotto

Va detto comunque che una F.I.  si può ricondurre a una , o a una , come nell’es. seguente:

Il limite di questo esempio è 0 perché L’ESPONENZIALE

a denominatore TENDE ALL’INFINITO PIÙ RAPIDAMENTE RISPETTO ALLA FUNZIONE ALGEBRICA a numeratore, come

1) si verifica “sperimentalmente” provando ad assegnare a  

    valori negativi grandi in valore assoluto (es.  )

2) e, soprattutto, come dimostreremo rigorosamente più avanti

Infine, per la SOMMA ALGEBRICA  sussistono evidentemente le PSEUDO-UGUAGLIANZE

e la FORMA DI INDECISIONE

che si riscontra in situazioni molto frequenti e semplici, ad esempio con i polinomi:

Abbiamo raccolto  elevato all’esponente più alto,

ed entro parentesi abbiamo ottenuto  

Generalizzando questo esempio si trae che

AL TENDERE DELLA VARIABILE A INFINITO

UN POLINOMIO TENDE SEMPRE ALL’INFINITO,

RICALCANDO IL COMPORTAMENTO

DEL SUO TERMINE DI GRADO PIÙ ELEVATO.

A parte la dimostrazione formale che abbiamo dato, CERCHIAMO DI COMPRENDERE BENE QUESTO FATTO,

approfittando sempre dello stesso esempio .

Qui si ha un “conflitto” fra il tendere a  di  e il tendere a  di , che è sommato algebricamente a .

Il termine , rispetto al termine , è più “forte” in quanto al coefficiente, ma inferiore come grado; però,

quando  diventa molto grande, il coeff. “perde di importanza” ed è in definitiva il grado a decidere il conflitto.

Nel nostro caso, il grado inferiore “penalizza” il termine , che tende a infinito meno rapidamente rispetto a .

Ad es., se , è  , ma si ha già  che prevale nettamente su .

Il termine “vincente”, quello che tende all’infinito con maggiore rapidità, è quindi .

Pertanto,  nel “tiro alla fune” (dove  “tira” verso  e  “tira” verso  ), 

trionfa, per via del grado superiore, il termine , e la somma algebrica, in definitiva, tende a .

D’ora in poi, dovendo determinare il LIMITE DI UN POLINOMIO AL TENDERE DELLA VARIABILE A ,

non staremo più a raccogliere  elevato all’esponente massimo; applicheremo invece la regola stabilita, vale a dire

concluderemo immediatamente che IL LIMITE È INFINITO, e PER TROVARE IL SEGNO di questo infinito

GUARDEREMO COME SI COMPORTA IL TERMINE “CARATTERIZZANTE” = DI GRADO MASSIMO.