7.  LA DEFINIZIONE RIGOROSA DI LIMITE

 

1° CASO:  LIMITE FINITO PER  CHE TENDE AD UN VALORE FINITO

                                                                                                         

 

 

 

Definizione:

 

Si dice che

“il limite, per  che tende a , di  è uguale a  ”

se e solo se

per ogni intorno di , esiste un intorno di  (NOTA 1)

tale che, per ogni  appartenente a questo intorno

(escluso tutt’al più : vedi NOTA 2),

 appartenga all’intorno di  fissato inizialmente.

 

 

Come abbiamo anticipato,

si riesce a giungere a una definizione soddisfacente

soltanto RIBALTANDO L’ORDINE

in cui vengono presi in considerazione  e :

infatti, spontaneamente si è portati a pensare

prima alla  che si avvicina a ,

poi alla  corrispondente che si avvicina a ;

LA DEFINIZIONE RIGOROSA SI OTTIENE

SE INVECE SI PENSA PRIMA A  POI A :

la  della funzione

si mantiene vicina a  tanto quanto lo si desidera,

a patto di prendere  sufficientemente vicina a .

 

 

Oppure:

 

Si dice che “il limite, per  che tende a , di  è uguale a  ” se e solo se:

per ogni  (comunque piccolo si prenda quell’  ) esiste un  (NOTA 3)

tale che, per ogni  appartenente all’intervallo  

(escluso tutt’al più : NOTA 2),

 appartenga all’intervallo

 

 

Oppure:

 

Si dice che “il limite, per  che tende a  , di  è uguale a  ” se e solo se:

per ogni  (arbitrariamente piccolo) esiste un  (NOTA 3)

tale che, se  è compreso fra  e  (escluso tutt’al più : NOTA 2),

 risulti compreso fra  ed

 

 

Oppure:

 

Si dice che “il limite, per  che tende a , di  è uguale a  ” se e solo se:

per ogni  (piccolo a piacere) esiste un  (NOTA 3) tale che,

se la distanza di  da  è minore di  (e  è diverso da : NOTA 2),

la distanza di  da  risulti minore di  (vedi a questo punto NOTA 4)

 

 

 

NOTA 1  Questo intorno di  dipende, di norma, dall’intorno di ,

      nel senso che è tanto più piccolo, quanto più piccolo è

 

 

NOTA 2  Abbiamo già osservato, presentando dal punto di vista intuitivo il concetto di limite,

      come, quando pensiamo a  tendente a , non ci interessa cosa accade IN   

      (dove, eventualmente, la funzione potrebbe addirittura non essere definita),

      ma solo cosa accade “in prossimità”, diciamo così, di

 

 

NOTA 3  Questo  dipende, di norma, da , nel senso che è tanto più piccolo, quanto più piccolo è .

      Per indicare questa dipendenza di  da , si usa a volte la notazione funzionale

      (  uguale  di , ossia: il  è un  che dipende da  )

 

NOTA 4  Le quattro definizioni alternative di limite, che abbiamo proposto, sono tutte equivalenti fra loro.

  Ciò è subito evidente se si conviene che gli intorni menzionati nella prima delle quattro definizioni

  siano circolari; ma poi un’analisi attenta permette di stabilire che nella prima definizione data

  è del tutto indifferente “leggere” gli intorni in questione come intorni “circolari” o invece “generici”.

  Ciò si deve al fatto che ogni intorno I di un punto ( = intervallo aperto contenente quel punto)

  contiene un intorno CIRCOLARE del punto stesso (anzi, ne contiene infiniti: tutti quelli il cui raggio

  è minore o uguale della più piccola fra le distanze del punto considerato, dalle estremità dell’intorno I )

 

 

 

2° CASO:  LIMITE INFINITO (  ) PER  CHE TENDE AD UN VALORE FINITO

                 (analoga sarebbe la definizione per il limite  )

 

 

Definizione:

 

Si dice che “il limite, per  che tende a , di  è uguale a  ” se e solo se

per ogni intorno di , esiste un intorno di

tale che, per ogni  appartenente a questo intorno di  (escluso tutt’al più  ),

 appartenga all’intorno di  fissato inizialmente

 

 

Oppure:  

 

Si dice che “il limite, per  che tende a , di  è uguale a  ” se e solo se

per ogni  (arbitrariamente grande) esiste un  tale che,

per ogni  appartenente all’ intervallo  (escluso tutt’al più  ),

 appartenga all’intervallo

 

 

Oppure:

 

Si dice che “il limite, per  che tende a , di  è uguale a  ” se e solo se

per ogni  (comunque grande lo si scelga) esiste un  tale che,

se  è compreso fra  e  (escluso tutt’al più  ),  risulti maggiore di

 

 

Oppure:

 

Si dice che “il limite, per  che tende a , di  è uguale a  ” se e solo se:

per ogni  (grande a piacere) esiste un  tale che, se la distanza di  da  è minore di

(e  è diverso da : il comportamento della funzione IN  non ci interessa ),  risulti maggiore di

 

 

Osservazione sulle definizioni di questa pagina

 

L’intorno di  di cui si parla dipende dall’intorno di  che viene menzionato precedentemente:

insomma, si ha  e, quanto più si prende grande , tanto più, di norma, occorrerà prendere piccolo .

 

3° CASO:  LIMITE FINITO PER  CHE TENDE A INFINITO (  )

                 (analoga sarebbe la definizione se il limite fosse  )

 

 

 

 

Definizione:

 

Si dice che “il limite, per  che tende a , di  è uguale a  ”

se e solo se

per ogni intorno di , esiste un intorno di  tale che,

per ogni  appartenente a questo intorno di ,

 appartenga all’intorno di  fissato inizialmente.

 

 

Oppure:

 

Si dice che “il limite, per  che tende a  , di  è uguale a  ”

se e solo se

per ogni  (piccolo a piacere) esiste un  tale che,

per ogni  appartenente all’intervallo ,

 appartenga all’intervallo

 

 

Oppure:

Si dice che “il limite, per  che tende a  , di  è uguale a  ”

se e solo se

per ogni  (arbitrariamente piccolo) esiste un   tale che,

se  è maggiore di N,  risulti compreso fra  ed  ( = la distanza di  da  sia minore di  )

 

 

 

Osservazione sulle definizioni di questa pagina

 

L’intorno di  di cui si parla dipende dall’intorno di  che viene menzionato precedentemente:

insomma, è

“  uguale  di , cioè: questo-N-è-un-N-che-dipende-da-  ”

e quanto più si prende piccolo , tanto più, in generale, occorrerà prendere grande .

 

 

 

COME PUOI VEDERE, SI PARTE SEMPRE DALLA STESSA “DEFINIZIONE-BASE”:

 

« Si dice che “il limite, per  che tende a , di  è uguale a  ”

e si scrive

se e solo se

per ogni intorno di , esiste un intorno di

tale che, per ogni  appartenente a questo intorno

(con esclusione tutt’al più di , nel caso  sia un’ascissa finita),

 appartenga all’intorno di  fissato all’inizio ».

 

Si formulano successivamente le particolarizzazioni di questa definizione ai vari casi.

 

 

Se  è un’ascissa finita , l’intorno di  di cui si parla è un intervallo aperto contenente

e, siccome tale intorno può essere supposto circolare, finisce per essere definito dal suo raggio ;

se invece è , l’intorno di  è costituito da tutti i punti di ascissa > di un certo numero ;

analogamente per l’intorno di

 

 

4° CASO:  LIMITE INFINITO (  ) PER  CHE TENDE A INFINITO (  )

                 (analoghe sarebbero le def. se cambiasse il segno di uno degli infiniti o di entrambi)

 

 

 

 

Definizione:

 

Si dice che “il limite, per  che tende a , di  è uguale a  ” se e solo se

per ogni intorno  di  (pensato sull’asse delle ordinate),

esiste un altro intorno  di  (pensato, questa volta, sull’asse delle ascisse),

tale che,  per ogni  appartenente a quest’ultimo intorno ,

 appartenga all’intorno di  fissato inizialmente.

 

 

Oppure:

 

Si dice che “il limite, per  che tende a  , di  è uguale a  ” se e solo se:

per ogni  (arbitrariamente grande) esiste un  tale che,

per ogni  appartenente all’intervallo ,

 appartenga all’intervallo

 

 

Oppure:

 

Si dice che “il limite, per  che tende a , di  è uguale a  ” se e solo se:

per ogni  (grande quanto si vuole), esiste un  tale che,

se  è maggiore di ,

 risulti maggiore di M.

 

 

 

Osservazione sulle definizioni di questa pagina

 

Il secondo intorno cui fa riferimento la definizione dipende dal primo:

, vale a dire

 è un “  di  ”, ossia dipende da ;

e quanto più si prende grande ,

 tanto più, di norma, saremo costretti a prendere grande anche .

 

 

DEFINIZIONI DI LIMITE: CHE MODIFICHE SUBISCONO QUANDO COMPARE

 

 

OSSERVAZIONE FONDAMENTALE (l’abbiamo già fatta in precedenza … la ripetiamo)

 

LE DEFINIZIONI DI LIMITE NEI QUATTRO CASI,

quando vengono date nella forma più generale, si possono tutte pensare come

PARTICOLARIZZAZIONI della DEFINIZIONE ASTRATTA seguente:

dove ciascuno dei due simboli   potrà rappresentare, a seconda dei casi,

un valore finito, oppure , oppure ancora  

(e, nel caso  valga  o , la specificazione “  ” va, ovviamente, tralasciata).

 

 

Questa importantissima osservazione consentirà immediatamente

di scrivere le definizioni di limite nel caso in cui  o entrambi valgano .

Sarà poi immediato tradurre la definizione in forma “numerica”,

riflettendo sulla analogia/differenza fra “intorno di  ” e “intorno di  ”.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

DEFINIZIONI DI LIMITE:

 

 

Limite uguale a  (senza alcun segno)

 

,

dove il simbolo  potrà valere, a seconda dei casi,  (ascissa finita) oppure  oppure ancora

(e, nel caso  valga  o , la specificazione “  ” va, ovviamente, tralasciata).

 

 Un “intorno di  ” è un’unione di intervalli del tipo .

 Un “intorno circolare di  ” è della forma  o anche  .

 

 Ad es., se  è un’ascissa finita (  ), la definizione generale nel riquadro può essere riscritta come segue:

 

Alcune osservazioni sulla scrittura :

a)      essa si può dimostrare equivalente alla scrittura ;

 

b)      essa è usata, nella quasi totalità dei casi, più che altro come scrittura “provvisoria”,

in attesa di decidere se, più precisamente, il limite è  o ;

spesso, a tale scopo, è necessario passare a considerare separatamente il limite sinistro e il limite destro

(dei quali ci siamo già occupati a livello intuitivo, e la cui definizione rigorosa formuleremo più avanti).

 

 

c)      Se risulta  oppure  ,

allora è anche corretto scrivere  (seppure quest’ultima scrittura sia meno precisa)

 

 

 

Limite per  che tende a  (senza alcun segno)

 

dove, per la definizione di “intorno di  ”, ti rimando al riquadro precedente.

 potrà essere un’ordinata finita, oppure uno dei due simboli  o .

 

 

Ad esempio, se  è un’ordinata finita (  ) avremo:

 

 

Tuttavia, la scrittura

 

è usata, più che altro, per sintetizzare la congiunzione

,

alla quale si può dimostrare equivalente.

 

 

 

Si può infine utilizzare anche la scrittura  ,  che a questo punto è di ovvia interpretazione.

 

 

 

DEFINIZIONI DI LIMITE: LIMITE SINISTRO, LIMITE DESTRO

 

 
Limite sinistro

 

dove il simbolo  indica un intorno sinistro di .

 potrà essere, a seconda dei casi,

 

·      un’ ordinata finita,

·      oppure uno dei due simboli:  o .

 

Più “numericamente”, scriveremo ad esempio:
 
Limite destro

 

dove il simbolo  indica un intorno destro di .

 potrà essere, a seconda dei casi,

 

·      un’ ordinata finita,

·      oppure uno dei due simboli:  o .

 

Più “numericamente”, scriveremo ad esempio:

 

E’ facile dimostrare,

e importante tener presente,

che UN LIMITE “BILATERALE” ESISTE

SE E SOLO SE ESISTONO

SIA IL LIMITE SINISTRO CHE IL DESTRO,

E SONO UGUALI FRA LORO