8. PUNTUALIZZAZIONI VARIE SULLE DEFINIZIONI DATE |
Non bisogna spaventarsi troppo di fronte a queste definizioni
rigorose di limite!
ü Da una parte, di una definizione non ambigua di limite
c’era senza dubbio bisogno …
·
per un’esigenza
squisitamente intellettuale di approfondimento (“guardar dentro” nelle
cose!);
·
per disporre di un criterio non equivoco che permetta di decidere se si
possa parlare o meno
di una "tendenza a limite", quando ci si imbatta in una
funzione dalla natura “insolita”;
·
per fondare su di una base sicura la dimostrazione di teoremi sui limiti,
i quali possano poi giustificare procedimenti di calcolo vari:
♪ sia in
relazione a funzioni ottenute tramite operazioni, composizioni o inversioni
a partire da altre funzioni;
♫ sia nelle applicazioni successive del concetto di
limite (derivata, integrale …).
ü D’altro canto, NELLA PRATICA, quando dovremo
calcolare un limite,
noi quasi sempre continueremo a operare esattamente
come prima; a questo punto, però,
il nostro apparato di definizioni e teoremi giustificherà da un punto
di vista rigoroso quanto
ci sentivamo già autorizzati a fare, in assenza di una definizione
precisa, sulla base del “buon senso”.
Alla definizione di "limite" che
abbiamo esposto si giunse, storicamente, molto tardi:
fin dall'antichità i matematici fatalmente incontrarono il concetto di
limite
nell'ambito di molte delle problematiche più interessanti,
ma fu soltanto con un lavoro del matematico tedesco Heine, pubblicato
nel 1872 (!),
che apparve la definizione con l’ “epsilon-delta” usata al giorno
d'oggi.
Heine si ispirò comunque alle lezioni dell'altro tedesco Weierstrass,
mentre già il francese Cauchy (1789-1857) aveva brillantemente e
abbondantemente lavorato,
pur senza riuscire ad evitare qualche carenza di rigore, sulla tematica
del “limite”.
Il secolo XIX è caratterizzato, in generale, da un
lavoro di ricerca sui fondamenti
dell'analisi infinitesimale (concetto di numero reale,
di limite, di derivata, di integrale)
ad opera di studiosi
come Bolzano, Cauchy, Dedekind, Cantor, Weierstrass.
3)
ESERCIZI DI APPLICAZIONE DELLA DEFINIZIONE DI
LIMITE NEI VARI CASI
(ovvero: come si controlla, tramite la definizione,
la correttezza di un limite assegnato)
a)
Verificare,
direttamente tramite la definizione di limite, che
Si tratterà di impostare la
disequazione
dove indica un numero >0 arbitrariamente
fissato,
poi di risolverla con l’obiettivo di far vedere che essa è verificata
“su tutto un intorno di ,
privato al più del punto 4”.
La disequazione è verificata su tutto un intorno di
b)
Verificare,
direttamente tramite la definizione di limite, che
Si tratterà di impostare la
disequazione
dove con si indica un numero >0 arbitrariamente
fissato, poi di risolvere la disequazione
e far vedere che essa è verificata su tutto un intorno di ,
privato al più del punto 0.
La disequazione è verificata su tutto un
intorno di ,
privato del punto 0.
c)
Verificare,
direttamente tramite la definizione di limite, che
Imposteremo la
disequazione
dove con si indica un numero positivo arbitrariamente
fissato;
dovremo poi risolvere la disequazione e far vedere che essa è
verificata su tutto un intorno di .
La disequazione è verificata, in particolare,
per tutti gli maggiori di ;
e l’intervallo costituisce un intorno di .
Ripensiamo alla definizione di limite finito per
che tende a un valore finito, data ad esempio
nella forma:
Quando si è trattato di esporta a parole, abbiamo scritto:
Si dice che “il limite, per x che tende a ,
di è uguale a ” se e solo se:
per ogni (
piccolo a piacere ) esiste un tale che, se la distanza di da è minore di
(e è diverso da :
il comportamento della funzione IN non ci interessa),
la distanza di da risulti minore di
|
E’
importante osservare che locuzioni del tipo:
hanno soprattutto una funzione PSICOLOGICA: dal punto di vista matematico, possiamo essere più “asciutti”
e dire semplicemente: “PER QUALSIASI ”, “COMUNQUE SI FISSI ”, “per un ARBITRARIO”. |
|
PROPRIO PER QUESTO la definizione data è
completamente rigorosa! Essa non fa più riferimento (come nei discorsi
introduttivi al concetto di limite) a descrizioni vaghe e matematicamente discutibili del tipo: “ molto vicina a ,
molto vicina a ” (… bella forza! QUANTO vicina? …), “piccola differenza”, “piccola distanza” ( … ma
QUANTO piccola, insomma? …) Questi tentativi “ingenui” di descrizione vengono
ora rimpiazzati da un INEQUIVOCABILE gioco di quantificatori: PER
OGNI … ESISTE … |
Analogo
discorso, naturalmente, vale per espressioni linguistiche come
“arbitrariamente
grande”, “grande a piacere”, ecc. da noi usate in relazione al numero
nelle
definizioni di limite infinito (ribadiremo questo aspetto più avanti).
5)
PSICOLOGIA, RIGORE E
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La locuzione " arbitrariamente piccolo" (o
"piccolo a piacere"), discussa al precedente punto 4), è comunque adottata da
molti testi anche perché è
utile a suggerire, quando ce ne sia bisogno, la seguente IMPORTANTE OSSERVAZIONE: se, in un caso specifico, devo dimostrare che , potrò supporre, se lo ritengo comodo o utile, piccolo a mio piacere, abbastanza
piccolo da consentire tutti i passaggi algebrici di
cui io avverta l'esigenza ai fini del procedimento. Infatti, se riesco a dimostrare che – tanto per fare un esempio – PER TUTTI GLI è possibile trovare un “che vada bene”, allora, evidentemente, resterà
pure dimostrato che PER QUALUNQUE esiste un che va bene. |
Considera
a proposito l‘esercizio seguente.
Supponiamo che sia richiesto di dimostrare, servendosi
della definizione, che
Imposteremo allora la disequazione
con
l’obiettivo di far vedere che essa è verificata in tutto un opportuno intorno
dell’ascissa 3
(…
fatta eccezione, al più, per ;
ma in questo es. si vede comunque subito che l’eccezione non si verificherà).
Dunque
scriveremo:
…
e a questo punto,
per
liberare dalla “prigionia” della radice quadrata,
desidereremmo poter elevare al quadrato.
Però sappiamo che una disequazione può essere elevata al quadrato
(nel senso che, così facendo, si muta in una disequazione con le stesse
soluzioni di quella di partenza)
soltanto se i membri della disequazione sono positivi.
Ora, riguardo all’espressione ,
essa è positiva ( ) soltanto quando .
Allora, che fare? Sarà forse necessaria una laboriosa distinzione di
casi?
NO! Perché il bello è che se noi ci limitiamo a prendere in
considerazione soltanto gli tali che ,
il nostro procedimento dimostrativo avrà poi un valore del tutto
generale!!!
Cerchiamo di spiegare in dettaglio il motivo di questo fatto.
Supponiamo di aver dimostrato che l’intorno cercato
esiste per tutti gli .
Il
nostro obiettivo finale è di far vedere che, COMUNQUE si fissi un ,
esiste un tale che … ecc. ecc.
Quindi,
il discorso, ormai portato a termine per gli ,
rimarrebbe
apparentemente ancora aperto per gli …
…
ma …
…
se noi prendiamo un ,
possiamo
passare a considerare un qualunque numero ausiliario ,
con .
Per
questo abbiamo già dimostrato che esiste un tale che, se ,
si ha .
Ma
allora per tutti gli tali che
risulterà
a maggior ragione
(infatti, essendo ,
sarà )
Pertanto,
in corrispondenza dell’ da noi scelto,
SIAMO
RIUSCITI A DETERMINARE un (il ) tale che ecc. ecc.
Tutto questo
discorso mostra che, in definitiva, nell’affrontare la disequazione
noi
possiamo pensare piccolo a piacere,
talmente
piccolo da consentirci di effettuare il passaggio di elevamento al quadrato
che
ci consentirà di isolare (quindi: ,
per le nostre esigenze):
.
Vediamo ora che i due numeri
e
sono,
rispettivamente, il primo minore e il secondo maggiore di 3.
Pertanto
la disequazione posta è effettivamente verificata in tutto un intorno
dell’ascissa 3, C.V.D.
OSSERVAZIONE
Se
desideriamo un intorno CIRCOLARE, ci basterà prendere il raggio di questo intorno uguale (o minore)
della
più piccola fra le distanze dell’ascissa 3 dai due estremi e dell’intorno trovato:
.
|
SE ESISTE UN INTORNO NON CIRCOLARE DI UN PUNTO, NEL QUALE SIA VERIFICATA UNA CERTA CONDIZIONE, ALLORA ESISTERÀ SEMPRE ANCHE UN’INTORNO CIRCOLARE DI
QUEL PUNTO (ANZI, INFINITI INTORNI CIRCOLARI), NEL QUALE Certo, perché ogni intorno di un punto ( = intervallo aperto contenente
quel punto) contiene infiniti intorni circolari del punto stesso (tutti quelli il cui raggio è della più piccola fra le distanze del punto
considerato, dalle estremità di ) |
POSSIBILITÀ DI
CONSIDERARE SOLTANTO VALORI DI “VICINI A ”
Analogamente, non è difficile convincersi
che, nel corso di una verifica della correttezza di un limite
per attraverso la definizione, è possibile,
volendo, considerare soltanto “valori di vicini a ”
7)
DAL “PICCOLO A PIACERE” AL “GRANDE A PIACERE”
E ancora: quando abbiamo
enunciato le definizioni di limite infinito, ad esempio la:
nel riferirci al numero ,
abbiamo detto che andava pensato
“grande a piacere”, “arbitrariamente grande”;
ma avremmo potuto benissimo fare a meno di locuzioni di questo tipo!
In effetti la definizione, espressa in simboli, si limita a presentare
un quantificatore universale ,
che significa semplicemente “per ogni, per qualsiasi, qualunque sia,
comunque si prenda”
e quindi è indifferente
rispetto al “grande” o al “piccolo”.
Tuttavia,
parlare di un “grande a piacere” o simili, si rivela utile
sia da un
punto di vista psicologico, sia per ricordare che:
se, in un caso
specifico, devo dimostrare che
posso supporre, se lo ritengo comodo o
utile, grande a mio piacere.
Infatti, se io riesco a dimostrare che,
ad esempio,
PER TUTTI
GLI M MAGGIORI DI 1.000.000 è
possibile trovare un "che vada bene",
allora, evidentemente, resterà pure
dimostrato che PER QUALUNQUE esiste un che va bene
(preso un minore o uguale di 1.000.000,
lo
rimpiazzo provvisoriamente con un altro numero maggiore di 1.000.000,
e
il che va bene per questo andrà bene a maggior ragione anche per l’ fissato inizialmente)
8) CONSIDERAZIONI ANALOGHE A QUELLE ESPOSTE AI PUNTI 5), 6),
7)
SI POSSONO RIFERIRE, EVIDENTEMENTE,
A TUTTE LE DEFINIZIONI DI LIMITE NEI VARI CASI.
9)
TENDERE ALL’ORDINATA “DAL BASSO” O “DALL’ALTO”.
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Qui è la che tende a : la tende a DAL BASSO |
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Qui è la che tende a : la tende a DALL’ALTO |
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