9.  TEOREMI SUI LIMITI

 

In questa rassegna di teoremi,

la lettera  starà ad indicare uno qualsiasi dei simboli:

 

OBIETTIVI; OSSERVAZIONI PRELIMINARI

 

La teoria dei limiti prevede una bella mole di teoremi; qui di seguito troverai i più rilevanti.   Di alcuni verrà data la dimostrazione, ma non di tutti.   Quanto faremo, d’altronde, sarà ampiamente sufficiente a permetterti di comprendere quali sono gli “stili” dimostrativi principali, e di acquisire metodi efficaci di esposizione del ragionamento.   In tal modo, potresti poi cercare tu stesso di formulare delle dimostrazioni (anche se, onestamente, questo obiettivo presenta in genere un grado di difficoltà medio-alto), e comunque sarai in grado di approfondire ciò che desideri, attraverso qualsiasi fonte (libro di testo o sito web).   Osserverai come la verità di pressoché tutti gli enunciati può essere colta con l’intuizione algebrica e/o geometrica, e scoprirai che è assai facile ricostruire il contenuto di questi teoremi integrando l’intuizione col ragionamento, senza che la memoria richieda di essere scomodata più di tanto.   Questo percorso servirà anche a fissare alcune proposizioni “cardine” che entreranno, in seguito, nella dimostrazione di altri teoremi più avanzati e molto importanti.   Ad esse verranno assegnati nomi particolari (Teorema della Permanenza del Segno,  Teorema dei  Due Carabinieri,  Teorema di Esistenza del Limite delle Funzioni Monotòne …)

                       

 

1)   Limite della funzione opposta

 

      Se una funzione  ammette il limite finito , allora la funzione  ammette il limite :

 

Dimostrazione

Supponiamo, per fissare le idee,  finito;

lasciamo al lettore le facili modifiche da apportare alla dimostrazione nel caso  oppure .

La nostra tesi è che , sotto l’ipotesi che .

Dobbiamo perciò far vedere che

.

Fissiamo dunque ad arbitrio un .

In corrispondenza di questo  esisterà, per ipotesi, un  tale che,

se  ,  risulti  .

Ma da quest’ultima catena di disuguaglianze si trae, cambiando i segni e i versi,

ossia, leggendo da destra verso sinistra,

C.V.D.

 

 

2)   

 

3)   Il limite di una costante (voglio dire: funzione costante) è la costante stessa:

 

4)   Se  è una costante reale, e si ha  , allora risulta

 

 

5)   “Il limite del valore assoluto è uguale al valore assoluto del limite ”

 

a)       

 

b)     

 

6)  Unicità del limite

 

TEOREMA DI UNICITÀ DEL LIMITE   Se, per , la funzione  ammette un limite, questo è unico.

 

 

Dimostrazione

 

 

Dimostreremo il teorema supponendo ;

analoga sarebbe la dimostrazione nel caso  o .

 

 

Per assurdo:

supponiamo che sia, contemporaneamente,  e ,  con 

 

 

 

(supponiamo anche  finiti;

 il ragionamento per assurdo che stiamo effettuando

 si potrebbe facilissimamente adattare alle altre possibili eventualità).

 

 

Fissiamo un  sufficientemente piccolo affinché i due intorni

 e

siano disgiunti ( = siano privi di intersezione, non abbiano punti comuni).

 

… Facile! Basterà che scegliamo  

  

e avremo raggiunto lo scopo.

 

Ora, in corrispondenza di questo ,

 

·         essendo  esisterà un  tale che , si abbia

 

·         ed essendo , esisterà un   tale che, , si abbia

.

 

 

Adesso poniamo  e consideriamo , che poi può essere visto come

.

 

Per ogni  di questo , fatta eccezione al più per , si avrà contemporaneamente

    e    ;

 

ma ciò è palesemente assurdo,

perché le due condizioni sono incompatibili in quanto i due intervalli

 e

avrebbero in tal modo dei punti comuni, mentre li abbiamo supposti disgiunti.

7)   Permanenza del segno

 

TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO   Se, per , la funzione  ammette un limite  diverso da zero ( , oppure  o  ), allora esiste un intorno di  per tutti gli  del quale, escluso tutt'al più  nel caso  sia finito,  mantiene lo stesso segno del limite.
Figura A	Figura_B

 

 

Dimostrazione

 

La nostra ipotesi è che esista il  .

Il simbolo  può indicare un’ascissa finita, oppure  o ancora ;

anche il limite  potrà essere finito o infinito.

Consideriamo solo il caso in cui  sia finito;

le modifiche da apportare alla dimostrazione nel caso  o  sono piuttosto ovvie.

 

 

Dico ora che è sempre possibile scegliere un intorno  del limite ,

costituito da ordinate aventi tutte lo stesso segno del limite.

 

 

E’ ben facile rendersene conto:

 

ü     nel sottocaso , basterà a tale scopo prendere  (figura A);

ü     se fosse poi , basterebbe a tale scopo prendere  (figura B) .

Ma essendo per ipotesi , in corrispondenza dell’  fissato esisterà sempre un intorno  

per ogni  del quale (fatta eccezione al più per , nel caso  sia finito),

 cada all’interno della fascia di ordinate ,

costituita, ribadiamolo, esclusivamente da ordinate che hanno lo stesso segno del limite . 

Il teorema è così dimostrato.

 

 

 

8)   Se esiste un intorno di  per ogni  del quale, escluso tutt'al più , si ha  

       e  ammette un limite  per , allora è , oppure    

 

      La dimostrazione è facile: si effettua ragionando per assurdo e utilizzando il teorema precedente.

 

 

 

9)   Se esiste un intorno di  per ogni  del quale, escluso tutt'al più , si ha

       e  ammette un limite  per , allora è , oppure .  

 

      Osserverai che questo teorema ha un’ipotesi rafforzata rispetto a quella del precedente teorema 8,

      e tuttavia la tesi non è , bensì, esattamente come per il n. 8, .

      Considera, a proposito, la funzione  con .

      Il limite è nullo, NON positivo, pur essendo  quando .

 

10) Evidentemente, teoremi analoghi ai teoremi 8), 9) valgono anche se si suppone, questa volta,

       (risp.  ) in tutto un intorno di , escluso tutt’al più .

 

11)  I “due carabinieri” (=primo teorema del confronto)

 

PRIMO TEOREMA DEL CONFRONTO (detto anche: “TEOREMA DEI DUE CARABINIERI”)   SE, in tutto un intorno di , escluso tutt'al più , si ha e inoltre è , ALLORA sarà pure
	L’ipotesi richiede che la condizione sia verificata in tutto un intorno di , escluso tutt'al più , non necessariamente su tutta l’intersezione dei tre domini delle funzioni in gioco

 

Dimostrazione

(Supponiamo che  sia un’ascissa finita; lasciamo al lettore il compito, piuttosto banale,

di apportare alla dimostrazione le modifiche necessarie, nel caso in cui  sia infinito).

 

Dunque, l’ipotesi è che

 

a)      esista un intorno  tale che per ogni x di , escluso tutt’al più , si abbia

 

 

b)      e inoltre risulti .

La tesi è che .

Ora,

 

·      la condizione a) ci porta a figurarci le due funzioni  e  

come due “carabinieri” che ”stringono in mezzo” un “ladro”, ossia la funzione  …

 

·      … e la condizione b) ci dice che i due “carabinieri” sono diretti entrambi in “caserma” (il limite  ).

 

 

E’ perciò evidente che pure il “ladro” ,

essendo stretto in mezzo fra i due carabinieri,

dovrà necessariamente confluire in caserma ( = tendere al limite  ).

 

 

La dimostrazione consisterà nel tradurre in opportune relazioni matematiche questa buffa idea.

 

 

Fissiamo pertanto ad arbitrio un .

 

Per l’ipotesi , esisterà un  tale che, , si abbia ;

e per l’ipotesi , esisterà un  tale che, , si abbia .

Se ora poniamo  e consideriamo l’intorno di centro  e raggio ,

su tutto  saranno verificate entrambe le disuguaglianze

;  

e quindi su tutto  si avrà

,

da cui, in particolare,

,   C.V.D.

 

 

12)  Il secondo teorema del confronto

 

SECONDO TEOREMA DEL CONFRONTO SE, in tutto un intorno di , escluso tutt'al più , si ha  e inoltre è , ALLORA sarà pure

 

 

 

13)  Il terzo teorema del confronto

 

TERZO TEOREMA DEL CONFRONTO   SE, in tutto un intorno di , escluso tutt'al più , si ha  (rispettivamente:  ) e inoltre è   (rispettivamente:  ) ALLORA si avrà pure   (rispettivamente:  )

     

 

 

14)  Il limite di una somma (nel senso di “somma algebrica”)

 

IL LIMITE DELLA SOMMA DI DUE FUNZIONI È UGUALE ALLA SOMMA DEI LIMITI (SUPPOSTO CHE ENTRAMBI ESISTANO E SIANO FINITI):

 

Dimostrazione

Supponiamo c finito, lasciando al lettore le modifiche da apportare alla dimostraz. nel caso c sia infinito.

 

 

Dobbiamo far vedere che

.

Fissiamo dunque arbitrariamente un  e passiamo a considerare il numero .

In corrispondenza di  (che farà da “nuovo  ”),

·       per l’ipotesi  esisterà un  tale che , si abbia

;

·       e per l’ipotesi , esisterà un   tale che, , si abbia

.

Detto dunque , su tutto  risulteranno verificate contemporaneamente

entrambe le condizioni

 

e pertanto in tale insieme  

sarà verificata anche la condizione che si ottiene sommandole membro a membro:

ossia

 , 

C.V.D.

 

 

 

Ti invito ad esaminare con attenzione la seguente   DIMOSTRAZIONE CON UNO “STILE” ALTERNATIVO Fissiamo un . Per l’ipotesi  esisterà un  tale che , si abbia e per l’ipotesi  esisterà un  tale che, , si abbia .   In  si avrà allora     SE ORA SI TIENE CONTO DELL’ARBITRARIETA’ DI , LA DIMOSTRAZIONE E’ TERMINATA. Bello!

 

      OSSERVAZIONE

 

Non sempre, se esiste il limite della somma di due funzioni,

ciascuna delle due funzioni prese separatamente tende a limite.

 

Infatti, ad esempio,

ma i due limiti   non esistono.

 

 

15)   Il limite della differenza di due funzioni è uguale alla differenza dei limiti

(supposto che entrambi esistano e siano finiti).

Dimostrazione

Conseguenza di

1)  

14)  Il limite della somma di due funzioni … ecc.

 

 

16)   Il limite della somma di PIÙ funzioni è uguale alla somma dei limiti

(supposto che tutti questi limiti esistano e siano finiti).

Dimostrazione:  basta applicare più volte il teorema 14)

 

 

17)   Il limite del prodotto di una costante per una funzione

         è uguale al prodotto della costante per il limite della funzione (supposto che questo esista e sia finito):

 

 

 

18)   Il limite del prodotto di due funzioni

  è uguale al prodotto dei limiti delle due funzioni (supposto che entrambi esistano e siano finiti):

 

 

 

OSSERVAZIONE

Non sempre, se esiste il limite del prodotto di due funzioni,

ciascuna delle due funzioni prese separatamente tende a limite.

Infatti, ad es.,  

(come si dimostra utilizzando il primo oppure il secondo dei teoremi del confronto);

ma   non esiste.

 

Dimostrazione del teorema

INNANZITUTTO, DIMOSTRIAMO IL TEOREMA NEL CASO PARTICOLARE .

Sia dunque ; vogliamo provare che sarà pure .

Sia dato un qualsivoglia .

Nel caso  fosse >1, consideriamo un qualsiasi  tale che , altrimenti poniamo

(abbiamo bisogno, in sostanza, di partire da un , perché in questo modo sarà poi  ).

 

Ora, l’ipotesi

 

ci assicura che, in corrispondenza di questo , esiste un intorno  di  

tale che, per ogni  di questo intorno eccettuato tutt’al più  nel caso  sia finito, risulti .

 

E per l’ipotesi

esisterà, in corrispondenza di , un altro intorno  di  tale che,

per ogni  di questo intorno eccettuato tutt’al più  nel caso  sia finito, risulti .

 

Su tutto  si avrà allora

Dunque esiste un intorno di  nel quale, con l’esclusione tutt’al più di , si ha

e con ciò la nostra tesi, relativa al caso particolare, è dimostrata.

 

VENIAMO ORA AL CASO GENERALE.

 

Essendo , la funz.  si può riscrivere come

dove, poiché  tende a  quando  tende a ,

la differenza  tenderà a 0 per  che tende a  (conseguenza del teorema 4).

 

Osserviamo che di una funzione che tende a 0 quando  tende a  

si può affermare che è un “infinitesimo” per .

 

Allo stesso modo, essendo , si ha ,

con  infinitesimo (funzione tendente a 0) per  che tende a .

 

 

Avremo in definitiva

ed essendo, per ragioni note,

 

si avrà (teorema 14)

C.V.D.

 

 

19)   Il limite del reciproco di una funzione

         è uguale al reciproco del limite (supposto che questo sia finito e  ):

 

 

 

20)   Il limite del quoziente di due funzioni

è uguale al quoziente dei limiti (supposto che entrambi i limiti esistano e siano finiti

e inoltre che il limite della funzione a denominatore sia diverso da zero):

 

 

TEOREMI SINTETIZZATI DA “PSEUDO-UGUAGLIANZE”; FORME DI INDECISIONE

 

La tabella seguente elenca una rassegna di teoremi

enunciandoli, per brevità ed efficacia espositiva,

in forma sintetica, attraverso una “pseudo-uguaglianza”;

 

e riporta anche le “forme di indecisione” che si riferiscono

alla somma algebrica, al prodotto, al quoziente di funzioni.

 

 

♪    Ad esempio, quando scriviamo  ,  vogliamo in tal modo riassumere l’enunciato:

 

♫    Ancora: scrivendo che   è una “FORMA DI INDECISIONE”,

          intendiamo affermare che, qualora si abbia ,  ,

         NULLA SI PUO’ DIRE A PRIORI riguardo al

         (tale limite potrà esistere finito o infinito, o anche non esistere, a seconda delle specifiche funzioni f e g)

 

 

 

Basteranno, a titolo di esempi, le dimostrazioni di un paio soltanto degli enunciati in esame (le trovi alle pagine successive).
21)		22)				23)		24)
25)
26)             con l’ordinaria “regola dei segni”					27)                          con l’ordinaria “regola dei segni”
28)
29)	30)		31)	32)			33)		34)	35)
36)
37)
38)
39)  40)

 

 

q       Dimostrazione del teorema sintetizzato nella pseudo-uguaglianza 

 

Per semplicità supponiamo  e supponiamo inoltre che l’ “  ” in questione sia, più precisamente, .

(ovvie sono le modifiche che occorrerebbe apportare alla dimostrazione per adattarla agli altri casi).

 

 

Dunque: la nostra ipotesi è che   e che  

e la nostra tesi è che .

Sia .

Vogliamo far vedere che in corrispondenza di questo , fissato arbitrariamente,

esiste sempre un intorno di  per ogni  del quale (eccettuato al più , se  è finito),

valga la disuguaglianza .

 

A tale scopo, ci serve considerare:

a)      in relazione all’ipotesi , il numero .

In corrispondenza di tale numero positivo  

esisterà un intorno di  nell’ambito del quale (tolto, al più,  )

 (ma ci interessa in particolare  )

b)      in relazione all’ipotesi , il numero .

In corrispondenza di tale  esisterà un intorno di  nell’ambito del quale (tolto, al più,  ) sarà

 

 

Da tutto ciò si trae che nell’intorno di  che rappresenta l’intersezione dei due intorni

precedentemente considerati (fatta eccezione, al più, per il punto  ), si avrà

da cui, moltiplicando membro a membro:

Così, dopo aver fissato ad arbitrio quell’  iniziale,

siamo riusciti a determinare un intorno di  tale che ... ecc. ecc.

 

La tesi è dimostrata.

 

 

 

 

q       Dimostrazione del teorema sintetizzato nella pseudo-uguaglianza

La situazione rappresentata nel teorema è quella di un rapporto di due funzioni 

quando si abbia    e 

Si vuole dimostrare che, sotto tale ipotesi, è

Prima parte) 

 

Dimostriamo dapprima la tesi in un CASO PARTICOLARE,

ossia qualora la funzione  a numeratore sia addirittura la COSTANTE .

Ricapitolando, avremo

 

Ipotesi:   

Tesi:         

                       (in pratica, dimostreremo così che “se una funzione tende a 0, il suo reciproco tende a infinito”)

Dobbiamo dunque far vedere che

 

(dove la specificazione  è da omettersi nel caso  sia infinito) .

Fissiamo perciò un  e passiamo a considerare il numero .

In corrispondenza di questo numero positivo, per l’ipotesi ,

esisterà un intorno  per ogni  del quale (escluso tutt’al più , nel caso  sia finito) si abbia

ovvero

.

 

Ma da questa relazione si trae, passando ai reciproci (NOTA)

.

 

Ricapitolando, abbiamo provato che, comunque si fissi ,

esiste un intorno di  per ogni  del quale, escluso tutt’al più il punto  se  è un’ascissa finita,

vale la disuguaglianza

. 

      Ma ciò dimostra, appunto, la tesi.

 

NOTA

Per poter effettuare questo passaggio ai reciproci,

sembra di dover supporre verificata un’ipotesi supplementare, ossia che esista tutto un intorno di  

nel quale (fatta eccezione al più per il punto , se  è un’ascissa finita) la  non si annulli mai.

Una funzione  come la seguente resterebbe perciò “tagliata fuori”.

:

D’altra parte, se in qualsivoglia intorno di  la  si annullasse almeno una volta fuori dal punto ,

la funzione reciproca  avrebbe un dominio tutto “bucherellato”

e in questa situazione inconsueta parlare di “  ” non sarebbe più lecito,

a meno di introdurre nella definizione di limite un ritocco

che apporti una maggiore generalità alla definizione stessa.

Di tale “ritocco” non riteniamo che sia qui il caso di occuparci;

comunque, avvertiamo che il teorema in questione manterrebbe la sua validità

anche in quell’ambito più generale.

 

 

 

Seconda parte)

Abbiamo fin qui fatto vedere che il teorema sintetizzato dalla pseudo-uguaglianza

vale nel caso particolare che la funzione a numeratore sia la costante 1.

 

 

E’ ora facile estendere la dimostrazione anche al caso più generale,

se si tiene conto dell’identità

e del teorema, già acquisito precedentemente, sintetizzato dalla pseudo-uguaglianza   

41)   Il Teorema di esistenza del limite delle funzioni monotòne

 

TEOREMA DI ESISTENZA DEL LIMITE DELLE FUNZIONI MONOTÒNE:
Sia  una funzione monotòna crescente, in senso stretto o in senso lato, su tutto un intervallo .   Allora esistono certamente i e tali limiti sono uguali rispettivamente all’estremo inferiore (finito o infinito che sia) e all’estremo superiore (finito o infinito che sia) dell’insieme dei valori assunti dalla   nell’intervallo .   Brevemente:
(Proposizione gemella):   Sia  una funzione monotòna decrescente, in senso stretto o in senso lato, su tutto un intervallo .   Allora esistono certamente i e tali limiti sono uguali rispettivamente all’estremo superiore (finito o infinito che sia) e all’estremo inferiore (finito o infinito che sia) dell’insieme dei valori assunti dalla   nell’intervallo .   Brevemente:
OSSERVAZIONI   ·       Si può dimostrare che il teorema vale anche per intervalli illimitati verso sinistra o/e verso destra.     ·       Vale anche un enunciato analogo per le successioni (“Teorema di esistenza del limite delle successioni monotòne”)
Sull’aggettivo “monotòna” riferito a una funziona l’accento è sulla penultima sillaba.   Si può anche scrivere “monotona” senza esplicitare l’accento, che comunque, quando si legge, va sempre messo al posto giusto.
Non esistono funzioni “monòtone”, anche se qualcuno potrebbe sostenere l’esatto contrario!

 

q       Dimostrazione del Teorema di esistenza del limite delle funzioni monotone

 

Limitiamoci a dimostrare che se  è monotona crescente su , allora (le altre proposizioni avranno dimostrazioni perfettamente analoghe)   Interpretiamo “crescente” come “crescente in senso lato”; in questo modo, data la maggiore generalità della condizione, la validità della dimostrazione si estenderà automaticamente anche alle funzioni strettamente crescenti.   Supponiamo inoltre che  sia finito (ne indicheremo il valore con  ); nel caso fosse infinito, la dimostrazione subirebbe qualche modifica del tutto prevedibile, che lasciamo al lettore.
Dunque: ·      la nostra ipotesi è:  monotona crescente su ·      la nostra tesi è: ·      supponiamo inoltre che  sia finito.   Dobbiamo quindi dimostrare che, fissato ad arbitrio un , esiste un   tale che, se , allora .   Fissiamo dunque . Poiché  è l’estremo superiore dell’insieme  dei valori che la  assume su , nell’intervallo  esisterà certamente un elemento di , ossia: esisterà certamente su  un  tale che
	La chiave della dimostrazione sta nel fatto che deve necessariamente esistere un per cui , dopodiché tutti gli  compresi fra  e per forza saranno anch’essi tali che
Ora, essendo la funzione  crescente su tutto , ed essendo  l’estremo superiore dei valori assunti dalla  su , se prendiamo un qualunque  tale che , per quell’  si avrà .   Dunque la disuguaglianza è verificata per tutti gli  dell’intervallo , essendo   C.V.D.