Cap. 5 - UN TEST DI VERIFICA

 

Svolgi il test seguente; quando hai finito (tempo massimo 75’) vai a vedere la risoluzione corretta.

 

Assegna a ciascuna tua risposta il punteggio adeguato; accanto a ogni quesito trovi segnato punteggio da attribuirti in caso di risposta esatta ed esauriente.

Il punteggio massimo totalizzabile è di 21 punti, se ne raggiungi almeno 11 puoi ritenere di avere una preparazione sufficiente.

Sei pronto? Vai !

 

QUESITI

 

1a)

Cosa si intende per “disposizioni di n oggetti, presi a k a k”?

1

 

1b)  

Scrivi quanto vale il numero D_n,k e spiega molto brevemente perché ha questo valore

1

 

2a)

Cosa si intende per “combinazioni di n oggetti, presi a k a k”?

1

 

2b)

Dimostra che il numero di tali combinazioni è dato da  

1

 

3) Quante sono le permutazioni cicliche di 5 oggetti?

1

 

4) Scrivi la formula del Binomio di Newton  (a+b)ⁿ =

1

 

5) Quanti sottoinsiemi ha un insieme di 10 elementi?

1

 

6) Quanto vale la somma 1 + 2 + 3 + … + 1999 + 2000 ?

1

 

(continua … )
7) Per il mio compleanno mi hanno regalato 7 libri.

a)      In quanti ordini diversi posso decidere di leggerli?

1

 

b)      Posso portarli in ferie tutti, o nessuno, o solo in parte. In quanti modi diversi posso effettuare la scelta dei libri da portar via?

1

 

c)      Un amico mi ha chiesto di prestargliene 3. In quanti modi posso scegliere quali dargli?

1

 

8)

Una password è costituita da: una sequenza di 5 lettere (possibilità di ripetizione di una stessa lettera; sono a disposizione le 26 lettere dell’alfabeto anglosassone), seguita da una sequenza di 3 cifre, non necessariamente distinte.

Quante possibili password?

1

 

9)

In un’assemblea di 100 persone, si devono scegliere un presidente e un segretario.

Stabilisci in quanti modi è possibile effettuare la scelta:

a)      se gli incarichi sono compatibili

1

 

b)      se sono incompatibili

1

 

10)

In un sacchetto ci sono 9 palline, 3 delle quali recano scritto sulla superficie il numero “1”, altre 3 il numero “2”, le rimanenti 3 il numero “3”.

Si estrae una pallina e si segna la cifra corrispondente. Senza reimbussolare la pallina estratta, se ne estrae un’altra, si segna la cifra corrispondente a destra della precedente … e si prosegue in questo modo fino ad esaurire tutte le palline.

Si costruisce così un numero a 9 cifre.

Quanti numeri distinti è possibile ottenere in questo modo?

2

 

11)

20 persone si suddividono in 5 gruppi da 4 persone; ogni gruppo fa il girotondo.

Questo è molto bello, ma tu dimmi: in quanti modi diversi è possibile che si dispongano queste persone?

3

 

12)

Quante diagonali ha un poligono di 10 lati?

2

 

RISPOSTE

 

1a)

Cosa si intende per “disposizioni di n oggetti, presi a k a k”?

Sono le k-uple ordinate, costruibili utilizzando quegli n oggetti.

 

1b)  

Scrivi quanto vale il numero D_n,k e spiega molto brevemente perché ha questo valore

 perché, nel costruire una k-upla ordinata, per la scelta del primo oggetto ho n possibilità, per ciascuna delle quali mi si apre un ventaglio di (n-1) possibilità per la scelta del secondo oggetto … ecc.

Devo avere in totale k fattori, quindi mi fermo a (n-k+1); se mi fermassi a (n-k) avrei un fattore in più.

 

2a)

Cosa si intende per “combinazioni di n oggetti, presi a k a k”?

 Sono le k-uple non ordinate, costruibili utilizzando quegli n oggetti.

 

2b)

Dimostra che il numero di tali combinazioni è dato da  

La dimostrazione è in due fasi.

Prima di tutto, avremo C_n,k=D_n,k/k! perché (Terzo principio del Calcolo Combinatorio) se ho contato il numero delle k-uple ordinate, allora il numero delle k-uple non ordinate si otterrà semplicemente dividendo per k!;

A questo punto, moltiplicando sia “sopra” che “sotto” per (n-k)!, avremo la tesi. Insomma:

 

 

3)

Quante sono le permutazioni cicliche di 5 oggetti?

5!/4 = 4! = 24

 

4)

Scrivi la formula del Binomio di Newton  (a+b)ⁿ =

 

 

5)

Quanti sottoinsiemi ha un insieme di 8 elementi?

2⁸ = 256

 

6)

Quanto vale la somma 1 + 2 + 3 + … + 1999 + 2000 ?

Applicando la Formula di Gauss, avremo (20002001)/2 = 10002001 = 2001000

 

7)

Per il mio compleanno mi hanno regalato 7 libri.

a)       In quanti ordini diversi posso decidere di leggerli?

7!

b)       Posso portarli in ferie tutti, o nessuno, o solo in parte. In quanti modi diversi posso effettuare la scelta dei libri da portar via?

In tanti modi quanti sono i sottoinsiemi di un insieme di 7 elementi, ossia 2⁷ = 128

 

c)        Un amico mi ha chiesto di prestargliene 3. In quanti modi posso scegliere quali dargli?

 

 

8)

Una password è costituita da: una sequenza di 5 lettere (possibilità di ripetizione di una stessa lettera; sono a disposizione le 26 lettere dell’alfabeto anglosassone), seguita da una sequenza di 3 cifre, non necessariamente distinte.

Quante possibili password?

26⁵10³

 

 

9)

In un’assemblea di 100 persone, si devono scegliere un presidente e un segretario.

Stabilisci in quanti modi è possibile effettuare la scelta:

a)       se gli incarichi sono compatibili

100100 = 10000

b)       se sono incompatibili

10099 = 9900

Osservazione: non bisogna dividere per 2, perché importa l’ordine, quindi le coppie sono ordinate:

la scelta Tizio=Presidente e Caio=Segretario non è equivalente alla scelta Caio=Presidente, Tizio=Segretario

 

10)

In un sacchetto ci sono 9 palline, 3 delle quali recano scritto sulla superficie il numero “1”, altre 3 il numero “2”, le rimanenti 3 il numero “3”.

Si estrae una pallina e si segna la cifra corrispondente. Senza reimbussolare la pallina estratta, se ne estrae un’altra, si segna la cifra corrispondente a destra della precedente … e si prosegue in questo modo fino ad esaurire tutte le palline.

Si costruisce così un numero a 9 cifre.

Quanti numeri distinti è possibile ottenere in questo modo?

 

11)

20 persone si suddividono in 5 gruppi da 4 persone; ogni gruppo fa il girotondo.

Questo è molto bello, ma tu dimmi: in quanti modi diversi è possibile che si dispongano queste persone?

 

Difficilotto.

Innanzitutto, immaginiamo di scegliere le 4 persone che costituiranno, diciamo così, il Primo gruppo (poi, tuttavia, l’ordine dei gruppi alla fine non conterà). Per questa scelta, abbiamo  possibilità.

A questo punto, per costituire il secondo gruppo, abbiamo  possibilità , … e così via.

Perciò possiamo suddividere le 20 persone nei 5 gruppi di 4 persone ciascuno in  modi,

dove la divisione per 5! si deve al fatto che abbiamo pensato, per comodità psicologica, di costituire un Primo Gruppo, poi un Secondo gruppo, ecc., ma poi i gruppi così formati non hanno “dignità” differenziate e quindi non conta l’ordine.

 

Ma adesso i componenti di ogni singolo gruppo si mettono a fare il girotondo!

Quindi i componenti di ciascun gruppo si possono disporre, dandosi la mano e mettendosi in cerchio, in 3! = 6 modi, tanti quante sono le permutazioni cicliche di 4 oggetti.

 

Perciò il numero di “configurazioni” sarà uguale al numeraccio determinato precedentemente (che era poi il numero dei modi in cui le 20 persone potevano ripartirsi in 5 gruppi da 4 persone), MOLTIPLICATO per 3! per tante volte quanti sono i gruppi.

Si ottiene così il numero

 

che è la risposta esatta al quesito.

 

12)

Quante diagonali ha un poligono di 10 lati?

 

Tante quanti sono i modi di collegare ciascuno dei 10 vertici coi 7 vertici ottenuti ignorando quello da cui si parte e anche i due consecutivi … però a ben guardare in questo modo una stessa diagonale verrebbe ri-disegnata 2 volte, quindi il numero così ottenuto andrà poi diviso per 2.

La risposta esatta è perciò (107)/2 = 35 diagonali.

 

Ragionamento alternativo: le diagonali sono tante quante le coppie non ordinate di vertici distinti, salvo poi sottrarre dal computo i 10 lati. Quindi:

(109)/2  10 = 35

 

In generale, un poligono di n lati possiede n(n-3)/2 diagonali (formula che converrà comunque ricordare).