11) 

 

THEOREM

Also  Qa (the set of non-negative fractions) is equipotent with N* = { 1, 2, 3, ... } !!!

(In other words, we can define a one-to-one correspondence between  Qa and N*)

 

 

Proof:

The following table will prove the statement:

 

 

By means of the path we have chosen to cross the matrix of rational numbers,

the following one-to-one correspondence has been established:

 

 

 

 

This shows that it’s also card (Qa) = aleph0

12) 

 
THEOREM

The set Q of positive and negative fractions is equipotent with N*

(and therefore, with  Qa, N,  Z, and so on).

 

 

Proof.:

 

 

 

 

We must therefore admit that it is card (Q) = aleph0

 

So far, we have learned that:

 

card {  } = 0

card {Paperino} = 1

card {Paperino, Paperone} = 2

card {Qui, Quo, Qua} = 3

…

card (N) = card (N*) = … = card (Qa) = card (Q) = aleph0

 

 

13)

Appare davvero molto strano che un insieme "denso" come Q risulti equipotente ad un insieme "discreto" come N* (ricordiamo che un insieme I ordinato da una relazione d'ordine < si dice "denso" se accade che, comunque presi in I due elementi distinti a, b, esiste sempre in I un elemento c compreso fra a e b, cioè tale che  a < c < b).

Se noi pensiamo all' "ordinamento standard" di Q, vediamo che in tale ordinamento, preso un qualsivoglia numero razionale, non esiste il numero razionale "successivo" (questo fatto si verifica proprio in virtù della "densità").

Tale proprietà di densità sembra differenziare in modo sostanziale Q da N*.

Ma il Teorema 12) mostra invece che gli elementi di Q sono "tanti quanti" gli elementi di N*, dove la locuzione "tanti quanti", riferita ad una infinità di elementi, in parte conserva, e in parte perde il significato che le attribuiamo quando ci riferiamo ad un numero finito di elementi.

D'altronde, Il Teorema 12) mostra che Q, volendo, può essere ordinato in modo da perdere la sua proprietà di densità  (la quale, dunque, sussiste per Q dotato dell' "ordinamento standard", ma può non sussistere più se pensiamo a Q dotato di un altro ordinamento).

Dal 12) segue pure un'altra conclusione molto sorprendente: volendo, l'insieme N* può essere "riordinato" in modo da acquisire, con questo nuovo ordinamento ("ereditato" da Q attraverso la biiezione considerata nella dim. del 12), la densità!

Notiamo che,

·         se riordiniamo N* assegnandogli l'ordinamento ereditato da Q attraverso la biiezione 12),

N* risulterà essere denso, e privo di primo ed ultimo elemento;

·         se riordiniamo N* assegnandogli l'ordinamento ereditato da Qa attraverso la biiezione 11),

N* risulterà denso, e dotato di primo elemento.

    


14)                                       

 

If the cardinal number of a set S is aleph0, we say that S is "denumerable" or "countable".

In other words, we call "denumerable" or "countable" those sets that can have a             one-to-one correspondence with the set {1, 2, 3,  ...}

 

 

The word "denumerable" has just been chosen to suggest that the elements of the set can be "counted":

·         FIRST element - namely, the element which corresponds to the number "1";

·         SECOND element,

·         ...

·         and so on.

 

15) 

 

THEOREMS

aleph0+1=aleph0  

aleph0+aleph0=aleph0   

aleph0 X aleph0 = aleph0   

 

Let’s prove, for instance, that  aleph0+1=aleph0 .

.

We need, first of all, to remember the precise definition of “sum” (+) of cardinal numbers (see def. 10).

Let a, b be two cardinal numbers.

If a, b are two disjoint sets such that: card (A) = a, card (B)=b, than we say that

 

 

Now, we must prove that  aleph0+1=aleph0 .

Let’s consider the following sets:

 aleph0)

 

 and    are “disjoint” ( ;   so,   = aleph0+1

 

 

Since there is a one-to-one correspondence between  and , it is proved that

the cardinalities of the two sets are equal:

aleph0+1=aleph0, Q.E.D.