12. 3 - Riassunto probabilità: tavola C1 (Esercizi svolti)

 

• Esempio 12

La probabilità che un tiratore A colpisca il bersaglio è 1/2, la probab. che lo colpisca B è 1/5.

Se A e B sparano contemporaneamente contro il bersaglio, che probabilità c’è che questo venga colpito?

 

Risoluzione:

p = p (A vel B) = p(A) + p(B) - p(A et B) = p(A) + p(B) - p(A) * p(B/A) = 

[… dato che A, B sono indipendenti e quindi p(B/A)=p(B) …]

= p(A) + p(B) - p(A) * p(B) = 1/2 + 1/5  1/2 * 1/5 = 1/2 + 1/5  1/10 = 6/10 = 3/5

Per inquadrare il problema in modo da sentirci effettivamente autorizzati ad applicare i Teoremi studiati, possiamo pensare che mediamente ogni 1000 prove (dove per “prova” devo intendere “doppio tiro”), 500 volte colpisca il bersaglio A, 200 volte B. Supponiamo che qualcuno registri gli esiti di questi 1000 “doppi tiri” e scriva ogni singolo esito (che potrà essere: “Nessuno”;  “solo A”; “solo B”; “sia A che B”) su di un bigliettino: si avranno quindi 1000 bigliettini. Pescando un bigliettino a caso, ci chiediamo che probabilità c’è di trovarvi scritto almeno uno dei due nomi A o B. Dammi retta! Traccia un diagramma di Venn che rappresenti questo insieme di 1000 bigliettini con i suoi sottoinsiemi! Comprenderai in modo realmente efficace la situazione probabilistica considerata.

 

• Esempio 13. - 

La probabilità che un gatto viva 12 anni è 1/4, la probabilità che viva 12 anni un cane è 1/3.

Se posseggo un cagnetto e un gattino appena nati, che probabilità c’è che:

a)      siano entrambi vivi fra 12 anni; 

b)      almeno uno sia vivo fra 12 anni; 

c)       nessuno dei due sia vivo fra 12 anni

 

Risposte :

a)       p (C et G) = p (C) * p(G) = 1/3 * 1/4 = 1/12 (probabilità composte per eventi indipendenti)

b)       p (C vel G) = p(C) + p(G)  p(C et G) = 1/3 + 1/4 - 1/12 = 1/2 

(prob. totali per eventi compatibili; prob. composte per eventi indipendenti)

c)        

dove abbiamo sfruttato le importantissime FORMULE DI DE MORGAN, le quali, come dovrebbe essere noto, hanno una versione “insiemistica” e una versione “logica” e che qui di seguito andiamo a ripassare:

 

(osserviamo che nelle versioni “logiche” delle formule il simbolo “=” sta per “logicamente equivalente”)

 

Risoluzione alternativa dello stesso problema del Cane e del Gatto:

 

dove abbiamo tenuto conto che   

e abbiamo potuto scrivere semplicemente  anziché  perché abbiamo ipotizzato l’indipendenza stocastica degli eventi (sebbene a rigore ciò non sia del tutto vero perché comunque gli animali sono molto sensibili)

• Esempio 14

Si estraggono successivamente 2 palline da un'urna contenente 2 Rosse e 3 Nere. Qual è la probabilità che siano entrambe Nere?   

 

Risoluzione:  

p(1^a N  poi  2^a N) = p(1^a N) * p(2^a N / 1^a N) = 3/5 * 2/4 = 3/10;

si poteva anche risolvere con n°  casi fav./n° casi poss.

 

• Esempio 15

Si estraggono successivamente 2 palline ciascuna da un’urna; sia l’una che l’altra urna hanno la stessa composizione: 2 R e 3 N. Qual è la probabilità che siano entrambe Nere?     

 

Risoluzione:  

p(“N da U1”  poi  “N da U2”) = p(N da U1) * p(N da U2 /  N da U1) = p(N da U1) * p(N da U2)  

[… perché qui evidentemente i due eventi sono indipendenti … ]

= 3/5 * 3/5 = 9/25;   

si poteva anche risolvere con n°  casi fav./n° casi poss.

 

• Esempio 16

Si estraggono successivamente, ma con reimbussolamento, 2 palline da un'urna contenente 2 Rosse e 3 Nere. Qual è la probabilità che siano entrambe Nere?    

 

Risoluzione.

Evidentemente, il problema è del tutto assimilabile al precedente esempio 15:

p(1^a N et 2^a N) = p(1^a N) * p(2^a N / 1^a N) = p(1^a N) * p(2^a N)  

[… perché qui evidentemente i due eventi sono indipendenti …]

= 3/5 *·3/5 = 9/25;

si poteva anche risolvere con n°  casi fav./n° casi poss.