Riassunto probabilità: tavola C2 (Esercizi svolti)

 

·         Esempio 17

Due urne contengono: U1, 3 palline Bianche (B) e 2 Nere (N);    U2, 3 palline Bianche e 1 Nera.

Si estrae una pallina da U1, e le rimanenti palline di U1 vengono versate in U2, da cui si estrae poi una seconda pallina.

Che probabilità c'è di ottenere 2 palline di diverso colore?

 

Risoluzione.

p(diverso colore) =    …applicando la REGOLA DELLA SOMMA!…  

=  p(B e poi N) + p(N e poi B) =

= p(B) * p(N/B) + p(N) * p(B/N) =   

• Esempio 18

Se si sa che

 

calcolare:

 

Risoluzione:

dove abbiamo utilizzato una ovvia identità insiemistica e abbiamo poi effettuato una sottrazione di due probabilità perché, evidentemente,  

Attenzione: avremmo potuto anche scrivere

 ma saremmo rimasti bloccati in un vicolo cieco, in quanto non avremmo poi potuto continuare scrivendo  perché, non essendo A sottoinsieme di B, non vale la relazione  

 

 

Per capire bene questo esempio 18, o eventualmente per svolgerlo con un procedimento alternativo, è efficacissima una visione frequentista.

Ad esempio, un diagramma di Venn compatibile coi dati  

è il seguente:

dal quale è immediato trarre le risposte ai quesiti 1) …6)

 

• Esempio 19

Tre studenti si presentano a tre diversi esami universitari, per i quali le statistiche dicono che le probabilità di promozione sono rispettivamente:   0,4 ;   0,7 ;   0,8.

Valuta qual è:

a)      la prob. che tutti e tre siano promossi;

b)      la prob. che almeno uno sia prom.;

c)       la prob. che uno e uno solo sia promosso

 

Risoluzione:

a)  p(P1 et P2 et P3) = p(P1) * p(P2) * p(P3) = 0,224 (gli eventi sono indipendenti)

b) 

p(almeno 1 promosso) = 1  p (nessun promosso) = 1- p (“non P1” et “non P2” et “non P3”) =

= 1  0,6  * 0,3  * 0,2 = 1 -  0,036 = 0,964

c)  p(1 e 1 solo) =

 

= 0,4  0,3  0,2 + 0,6  0,7  0,2 + 0,6  0,3  0,8 = 0,252

 

• Esempio 20

Si è rotto il microprocessore di uno dei miei computer e io voglio sostituirlo, potendo scegliere fra i 10 microprocessori che ho acquistato ad una svendita, dei quali so che 2 sono della marca M₁, 3 della marca M₂ e 5 della marca M₃. 

Tuttavia non sono in grado, per nessun processore, di riconoscere di che marca sia.

Statisticamente, i microprocessori M₁ sono “buoni” nel’80% dei casi (quindi con probabilità 0,8), gli M₂ nel 75% dei casi e gli M₃ nel 50% dei casi.  Mi chiedo qual è la probabilità che, prendendo un microprocessore a caso, esso risulti funzionante.

 

Risoluzione: 

p(OK)=p((M₁ et OK) vel (M₂ et OK) vel (M₃ et OK) ) = p(M₁ et OK) + p(M₂ et OK) + p (M₃ et OK) = 

= p(M₁) * p(OK/M₁) + p(M₂) * p(OK/M₂) + p(M₃) * p(OK/M₃) = 2/10 * 0,8 + 3/10 * 0,75 + 5/10 * 0,5 = 0,635