10.3  Ancora sulle “fette di certezza”

 

Volevo infine ritornare ancora un attimo sull’idea delle “fette di certezza”.

Nel Maggio 2001 sulla mailing list “matfis”,  a cui aderiscono insegnanti di Matematica e Fisica interessati a scambi di idee e di esperienze didattiche, comparve la seguente e-mail:

 

“Non riesco a risolvere questo problema o meglio non riesco ad ottenere la soluzione del libro.

Problema N° 25 pag 665  del  FORMAT,SPE   nuova edizione del Maraschini-Palma

"Si hanno due urne così composte:
      U1 contiene  10 palline nere e   5 palline bianche
      U2 contiene    8  palline nere e  10 palline bianche.
Si lancia un dado e se escono i numeri 1 o 2 si estrae una pallina dalla prima urna,

altrimenti se ne estrae una dalla seconda.

Se questa prima pallina estratta è nera, allora la si rimette nell'urna e si estrae un'altra pallina

dall'urna che non conteneva la prima.
Rappresenta la situazione con un grafo ad albero.
Nell'ipotesi che l'ultima pallina estratta, cioè la pallina visibile fuori dall'urna, sia bianca,

calcola la probabilità che essa provenga dalla prima urna."

 

Ringrazio chi vorrà cimentarsi ed comunicare la soluzione ottenuta ed il procedimento adottato.    Firmato: M.G.”

 

Diversi insegnanti risposero al messaggio proponendo loro risoluzioni del problema; non fu facilissimo né immediato pervenire ad un accordo sullo svolgimento corretto… il che indica chiaramente l’obiettiva difficoltà di problematiche di questo tipo.

 

Noi ora, con il nostro diagramma ad albero e l’idea vincente delle “fette di certezza”, troveremo abbastanza rapidamente il risultato esatto (17/57).  Proviamoci, coraggio!!!  Dunque:

i cammini che terminano con B sono quattro, e vengono percorsi con probabilità, rispettivamente:

2/6 *10/15 * 10/18; 2/6 * 5/15; 4/6 * 8/18 * 5/15; 4/6 * 10/18;

essi costituiscono quindi quella parte della “torta” della certezza (posta uguale a 1) che è espressa dalla somma 2/6 *10/15 *10/18 + 2/6 * 5/15 + 4/6 * 8/18 * 5/15 + 4/6 * 10/18.

Fra i cammini considerati, quelli nei quali la pallina Bianca estratta risulta provenire dall’urna U1 sono soltanto due: il secondo cammino ed il terzo, ossia quei cammini che vengono percorsi con probabilità, rispettivamente, 2/6 * 5/15 e 4/6 * 8/18 * 5/15 .

 

Pertanto questi due cammini si spartiscono una “fetta” di certezza uguale a 2/6 * 5/15 + 4/6 * 8/18 * 5/15.

Rapportando questa fetta di certezza con la fetta di certezza occupata dai quattro cammini che terminano con B, si perviene alla risposta al quesito:

Sul sito http://chihapauradellamatematica.org puoi trovare una simulazione TURBO PASCAL di questa prova aleatoria, ripetuta per un numero di volte deciso dall’utente.

 

Ci tengo comunque a sottolineare che l’idea delle “fette di certezza” non è nient’altro che un modo “carino” di manipolare la probabilità “condizionata” (con l’annesso discorso della “restrizione dell’insieme universo”)!

 

Se io per esempio dico che osservando il diagramma seguente

 

(dove 1/ 4 è la probabilità di  ),

posso desumere immediatamente che

,

io affermo ciò perché nella mia mente ho

·         una “fetta di certezza” che “pesa” 1/ 4 (quella di ,

·         un’altra “fetta di certezza“ che “pesa” 1/ 3 (quella di B, nell’ambito del quale voglio rimanere perché, se mi interessa valutare p(A/B), voglio assumere B come insieme universo),

e quindi, per andare a valutare quanto “pesa” A nell’ambito di B, mi viene spontaneo calcolare il quoziente

;

ma anche e soprattutto perché so (l’ho dimostrato!) che sussiste la relazione

 !!!