12. 2 - Riassunto probabilità: tavola B (Teoremi sul CdP)

 

TEOREMI SUL CdP

 

Teorema delle probabilità totali   1)            e in particolare, se A e B sono incompatibili,           1’)           e in particolare, se A e B sono incompatibili,           Il teorema 1 - 1'  è di solito chiamato "Teorema delle probabilità totali"

 

Teorema delle probabilità composte   2)             e in particolare, se A e B sono stocast.indip.,             2’)            e in particolare, se A e B sono stocast. indip.,             2”)            e in part., se A e B sono stoc. indip.,             Il teorema 2 - 2' - 2'' è di solito chiamato "Teorema delle probabilità composte"

 

Teorema sulla probabilità dell' evento contrario   3)    (probabilità dell' evento contrario)          LA PAROLA "ALMENO", DEVE QUASI SEMPRE INVITARCI AD UTILIZZARE L'EVENTO CONTRARIO

 

Generalizzazioni 2gen)                                            1gen)          e analogamente con  cioè “vel”,  cioè “et”, al posto rispettivamente dei simboli di unione e intersezione)

 

Regola della somma per le prove a due o più fasi: in una "prova a due o più fasi", la probabilità dell'evento che si verifica se e solo se si verifica l’uno o l’altro di due eventi incompatibili è la somma delle rispettive probabilità.

 

Conseguenze notevoli dei Teoremi studiati

 

Il teorema 2 può essere posto, evidentemente, sotto una qualsiasi delle due forme:

;       

da cui, uguagliando i secondi membri, si trae 

 

e da questa uguaglianza, nel caso che p(A/B) = p(A), si trae, semplificando, p(B/A) = p(B);

ossia, come avevamo anticipato:

 

"se A è stocasticamente indipendente da B, allora anche B è stocasticamente indipendente da A"

 

Inoltre, sempre una conseguenza di 2) è la formula seguente:

 

4)

 

che può risultare molto utile

 

 

OSSERVAZIONI AI TEOREMI SUL CdP

 

Ben pochi testi distinguono fra i teoremi 2), 2'), 2'' ).

Di solito essi vengono inglobati in un solo teorema, che viene scritto da quasi tutti i testi nella forma 2), o a volte nella forma 2').

Ciò non è affatto rigoroso, ma "funziona".

Ad esempio, se io ho A = "esce 1 dal lancio di un dado", B = "esce Testa dal lancio di una moneta", evidentemente NON è corretto parlare della probabilità ! Infatti gli insiemi A e B  non hanno niente a che fare fra loro, sono disgiunti!

D'altra parte, certi testi scrivono disinvoltamente , e "gli va bene" ... e tutto sommato IN QUESTO CASO la cosa è pure accettabile, a patto di puntualizzare che A vada interpretato come "esce 1 dal lancio del dado ed esce un risultato qualsiasi dal lancio della moneta", e B vada interpretato come "esce un risultato qualsiasi dal lancio del dado ed esce Testa dal lancio della moneta".

 

Noi, abbiamo dimostrato 2) e 2'' ); in quanto al teor. 2' ), esso sussiste perchè quando utilizziamo il connettivo ET (  ) per descrivere un evento, possiamo sempre ricondurci :

• IN CERTI CASI,  a 2)

(ET inteso come "E CONTEMPORANEAMENTE", nell'ambito di una visione insiemistica in cui il simbolo  di congiunzione logica corrisponde perfettamente al simbolo  di intersezione insiemistica),

• NEGLI ALTRI CASI, a 2'' )

(ET inteso come "E POI", nell'ambito di una visione sequenziale, di evento a due fasi)

 

Analogamente, 1' ) sussiste perchè può essere ricondotto a 1)