12. 4 - Riassunto probabilità: tavola D (Teorema di Bayes)

 

TEOREMA DI BAYES (sulla "probabilità delle cause")

 

Supponiamo che in una singola prova possa verificarsi uno e uno solo fra due o più possibili eventi H₁, H₂, ... H_n (indichiamo con  p(H_i) la probabilità che si verifichi H_i), e che, qualora si verifichi l'evento H_i, ci sia una una ben determinata probabilità p(E/H_i)che si verifichi un dato evento E.

Insomma, gli eventi H₁, H₂, ... H_n costituiscono le possibili CAUSE dell’evento E; tali cause sono:

fra loro incompatibili (=non è possibile che si verifichino contemporaneamente due eventi H_i, H_j, se i≠j)

ed "esaustive" (=nessuna altra causa, al di fuori delle H_i, può generare l’evento E).

Allora, se si verifica l'evento E, la probabilità che esso sia stato provocato dalla causa H_i è data dalla formula (di Bayes):

 

La formula di Bayes sopra riportata vale anche per gli eventi a due o più fasi (per i quali la schematizzazione più adeguata è un diagramma ad albero anziché un diagramma di Venn), e inoltre conserva la sua validità anche se gli eventi H₁, H₂, ... , H_n non vengono interpretati come "cause" di E, ma semplicemente come eventi "concomitanti" ad E.

 

OSSERVAZIONE UTILE PER RICORDARE LA FORMULA:

il denominatore si ottiene riscrivendo il num., e poi scrivendo gli altri addendi analoghi, che si ottengono “facendo variare le cause”"

 

Esempio 21 Se si gioca sulla macchinetta A, si vince mediamente 1 volta su 2 (probabilità 1/2, quindi); se si gioca su B, si vince con probabilità 1/4. Supposto di aver giocato su di una macchinetta a caso e di aver vinto, che probabilità c'è che si trattasse della A?   Risoluzione: p(A)=1/2      e     p(B)=1/2    perchè siccome si sceglie a caso, è uguale la probabilità di scegliere A oppure B; p(V/A)=1/2    e     p(V/B) = 1/4

 

IDEA-GUIDA SULLA PROBABILITA’ DI UN CAMMINO QUANDO SI HA UN DIAGRAMMA AD ALBERO

In una schematizzazione "ad albero", la probabilità di un "cammino" è uguale al prodotto delle probabilità dei singoli segmenti che costituiscono il cammino

(S'intende che la probabilità di percorrere un dato segmento è da intendersi, in generale, come "probabilità condizionata", cioè come probabilità di percorrere quel segmento, supponendo di essere già giunti all'inizio del segmento stesso).

 

L'EFFICACIA DELLA VISIONE FREQUENTISTA

 

A proposito dell’ es.21, sottolineo ancora come una visione frequentista possa essere spesso utilissima per analizzare un problema in modo semplice ma convincente e risolverlo, nonchè per controllare la plausibilità di risposte ottenute per altra via.

Vediamo l'es. 21 affrontato con visione "frequentista":

Faccio 400 "prove"; all'incirca 200 volte la macchinetta scelta sarà A, all'incirca 200 volte sarà B; sulle circa 200 volte in cui giocherò con A, vincerò pressappoco 100 volte; e sulle circa 200 volte in cui giocherò con B, vincerò pressappoco 50 volte.

Ora, sulle circa 100+50=150 volte in cui ho vinto, circa 100 volte ho giocato con A, per cui p(A/V)=100/150=2/3

 

• Esempio 22 (ancora sul Teorema di Bayes)

In una certa facoltà universitaria, è obbligatorio sostenere un esame di Lingua Straniera.

Ogni studente può scegliere fra: Inglese, Francese, Spagnolo, Tedesco.

Le statistiche dicono che le probabilità di scelta sono rispettivamente:   0,4       0,3        0,2        0,1

D'altra parte, per la diversa difficoltà dei corsi e severità degli insegnanti, le probabilità di riportare la massima votazione (30/30) variano da lingua a lingua e sono rispettivamente:  0,1    0,2     0,3     0,9

Supponiamo di sapere che un certo studente ha riportato 30/30 nell'esame di Lingua.

Che probabilità c'è che la materia d'esame sia stata Inglese?

 

Risoluzione: