1 - IL CONCETTO DI PROBABILITA’. TI E’ GIA’ NOTO;
LA “LEGGE EMPIRICA DEL CASO”
1.1 - Casi possibili e casi favorevoli; definizione provvisoria di probabilità.
A. Qui davanti a me ho un’urna contenente 2 palline bianche e 998 nere.
Mi metto una benda sugli occhi, scuoto ripetutamente l’urna ed estraggo una pallina.
· E' più probabile che venga fuori una bianca o una nera? .........
· E se nell’urna ci fossero 400 Bianche e 600 Nere? .........
B. In un'urna voglio introdurre 1000 palline. Quante Bianche e quante Nere dovrò mettere nell'urna se voglio che sia uguale la probabilità di estrarre una Bianca o una Nera? ..........
C. Sono seduto al banco del bar. A un certo punto entra un signore e vedendolo il barista mi fa: "Non ne sono certo, ma è molto probabile che ordini una cedrata".
· Secondo te, cosa ha indotto il barista a parlare in questo modo? ...........
· Che differenza c'è fra questo esempio e i precedenti? ………
Osserva che ai quesiti proposti hai risposto facilmente e senza esitazioni. E non c’è stato disaccordo nelle risposte fra te e i tuoi compagni.
Eppure non abbiamo iniziato il discorso spiegando cosa si debba intendere per "probabilità”.
Questo significa allora che il concetto di probabilità ti è già noto, è un concetto che tutti i ragazzi adolescenti già posseggono (indipendentemente dal fatto che l'abbiano già trattato o meno a scuola) e, quindi, che non ci stiamo occupando di INTRODURRE tale concetto, ma solo di PRECISARLO.
Nelle situazioni precedenti, sei stato in grado di dire con sicurezza quale, fra due possibili eventi, era "il più probabile"; abbiamo anche visto un caso in cui i due eventi possibili avevano "la stessa probabilità”.
Ma ora ci proponiamo di fare di più, ossia ci proponiamo di QUANTIFICARE, di MISURARE, la probabilità che accada un certo evento.
Jakob Bernoulli, nella sua "ars Conjectandi" (uscita postuma nel 1713) scrive che
« Probabilitas enim est gradus certitudinis, et ab hac differt ut pars a toto ».
A te la facile traduzione!
D. Se ho nell'urna 2 B e 998 N sono "quasi certo" che dall'estrazione uscirà una N; la probabilità di estrazione di una N è "altissima" - il "grado di certezza" è "altissimo". Se ho 400 B e 600 N, la probabilità di estrazione di una N è più bassa; possiamo dire che il "grado di certezza" è diminuito. E' evidente che, di fronte ad un'urna con 1000 palline in totale - alcune bianche, altre nere -, la probabilità di estrarre una nera è proporzionale al numero di palline nere presenti nell'urna.
E. Supponiamo ora che fra i 20 alunni di una classe venga estratto, a sorte, un premio.
Nessuno dei 20 alunni è certo di vincere: ciascuno, però, possiede "un pezzettino" di certezza ... quanto misura, quanto vale questo "pezzettino"? Beh, è ragionevole dire che ciascun alunno possiede 1/20 della "torta" della certezza.
Supponiamo poi che 7 femmine della classe dicano: "Se verrà estratta una qualsiasi di noi 7, regaleremo il premio all'insegnante di Religione. A questo punto, l'insegnante di Religione si "impadronisce" di 7 "pezzettini" di certezza da 1/20, quindi "possiede i 7/20 dell'intera certezza".
F. Immaginiamo che una comitiva di amici un po' pazzi abbia promesso a Chiara un regalo per il suo compleanno, ma solo a condizione che da un'urna, contenente 1000 palline di cui 990 verdi, venga estratta una pallina verde. E' ovvio che Chiara, in questo modo, non è certa di ricevere il regalo;
però ne è "quasi" certa, perchè il numero 990 (casi favorevoli) non si discosta molto dal numero 1000 (casi possibili). Chiara non possiede la certezza di ricevere il regalo, ma ... possiede 990 pezzettini da 1/1000 di certezza: possiede i 990/1000 della certezza.
Ed è altrettanto ovvio che se si dimezzasse sia il numero delle palline verdi (portandolo a 495) che il numero totale della palline (portandolo a 500), la probabilità di ricevere il regalo non cambierebbe: d'altronde, in questo modo Chiara si troverebbe a possedere i 495/500 di certezza, cioè una "fetta" della "torta della certezza", esattamente uguale a 990/1000.
A questo punto, è ora di trarre le conclusioni.
Evidentemente nella QUANTIFICAZIONE, nella MISURAZIONE della probabilità, c'entra sia il numero dei casi favorevoli che il numero dei casi possibili; dimezzando, o raddoppiando, sia il numero dei casi favorevoli che il numero dei casi possibili, la probabilità rimane invariata; a parità di casi possibili, la probabilità è direttamente proporzionale al numero dei casi favorevoli.
La certezza si può pensare come una "torta" divisa in tante fettine uguali quanti sono i casi possibili; la probabilità di un evento corrisponde a tante "fettine" di certezza quanti sono i casi favorevoli all'evento stesso.
Queste considerazioni portano a concludere che il modo più
spontaneo, più naturale, di "misurare" la probabilità di un evento, è
quello di calcolare il rapporto
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Esempi:
1) Se si lancia un dado, la probabilità di ottenere "5" è ……
2) Se si estrae una carta da un mazzo da scopa (40 carte), la probabilità che sia una figura è ……
3) Un'urna contiene 327 palline, contrassegnate dai numeri 1, 2, 3, ... 327.
Pescando a occhi chiusi, qual è la probabilità di estrarre un numero pari? E un numero dispari? ……
Risposte: 1) 1/6 2) 12/40=3/10 3) 163/327; 164/327