4.3  Esercizi svolti (sulla definizione di Laplace)

 

q       Esempio 1) 

Si lanciano due dadi. Qual è la probabilità che esca lo stesso numero su entrambi?

           

Risoluzione:

posto M = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, l’insieme dei casi possibili sarà M X M e avrà perciò 36 elementi; i casi favorevoli sono 6. Quindi:

 

p (stesso numero sui due dadi) = 6/36 = 1/6.

 

Osserviamo che l’insieme universo si può rappresentare molto bene, in questo problema, con una tabella a doppia entrata oppure con un grafo:

 

 

q       Esempio 2) 

Lanciando successivamente per 10 volte una moneta, che probabilità c’è di ottenere:

a.       tutte Teste;

b.      Testa le prime 4 volte, Croce le rimanenti;

c.       esattamente 4 Teste.

 

Risoluzione:

per tutti e tre i quesiti, i casi possibili sono tanti quante le sequenze di 10 simboli, ciascuno dei quali può valere T o C; ad esempio, un caso possibile è TTTCCTCTTC.

Perciò abbiamo 2 * 2 * 2 *… * 2 = 2¹⁰ = 1024 casi possibili.

 

a:         Il caso favorevole è 1 solo: TTTTTTTTTT. La probabilità richiesta è    p(tutte T) =1/1024 = 0.0009765

 

b:         Il caso favorevole è 1 solo: TTTTCCCCCC. La probabilità richiesta è   p(TTTTCCCCCC) = 1/1024.

 

c:         I casi favorevoli sono tanti quante le sequenze di 10 simboli, ciascuno dei quali possa essere T o C,  

contenenti esattamente 4 T. Per determinare tale numero, possiamo pensare al numero di modi

in cui, in uno schema come il seguente, costituito da una sequenza di 10 caselle vuote:

 

  1   2    3   4    5    6    7    8    9  10  

noi possiamo scegliere quelle 4 nelle quali collocare T.

Tale scelta può essere effettuata in (10 * 9 * 8 * 7)/(4 * 3 * 2 * 1) modi possibili, ossia in  modi possibili.

La probabilità richiesta è perciò  

p(esattamente 4 T) =  /1024 = 0.205…

q       Esempio 3)

Calcolare la prob. di trovarsi una coppia di assi servita quando si alzano le carte a poker.

 

Risoluzione:

I casi poss. sono tanti quante le cinquine non ord. costruibili utilizzando le 32 carte del poker, ossia   

I casi favorevoli sono tanti quante le cinquine costruibili utilizzando 2 assi qualsiasi, insieme con 3 non-assi.

Il numero dei casi favorevoli è perciò   

La probabilità cercata è dunque:   p(coppia di assi servita) =  = 0.0976…

q       Esempio 4)

Calcolare la probabilità di fare “4” giocando una determinata sestina al superenalotto

 

Risoluzione:    Immagino di giocare una certa sestina; ad esempio, la sestina 10, 20, 30, 40, 50, 60.

Ora spero di fare 4, vale a dire: spero che nella sestina vincente, quella che annunceranno la sera in televisione, ci siano esattamente 4 fra i numeri della MIA sestina.

Ad esempio, avrò fatto 4 se la sestina vincente sarà 7, 50, 30, 40, 88, 10.

 

I casi possibili sono tanti quante le sestine non ordinate costruibili utilizzando gli oggetti 1, 2, 3, …, 90.

n° casi possibili =  

I casi favorevoli sono tanti quante le sestine non ordinate,contenenti esattamente 4 fra i numeri della MIA sestina, insieme con altri due numeri, NON appartenenti alla MIA sestina.

Il numero dei casi favorevoli si ottiene dunque nel modo seguente:  n° casi favorevoli =  

Perciò  p( “4” ) =  = 0.0000839…

q       Esempio 5)

Calcolare la probabilità di azzeccare un “terno” al gioco del Lotto

 

Risoluzione:    Io gioco 3 numeri, ad esempio il 44, il 55 e il 66, e "spero che escano".

I casi possibili sono le cinquine non ordinate costruibili coi 90 numeri 1, 2, ... 90, cioè  

e i casi favorevoli sono tanti quante le cinquine che contengono il 44, il 55 e il 66.

Esse sono tante quante le coppie costruibili utilizzando gli 87 numeri rimanenti, cioè       

La probabilità richiesta è pertanto 

 

Osserviamo che però in caso di vincita si viene pagati soltanto 4250 volte la somma giocata.