5.5 Esercizi svolti (probabilità condizionata)

 

Esercizi sul concetto di “probabilità condizionata” e di “eventi stocasticamente indipendenti”.

Vai alle risposte.

 

1)  

Da un mazzo di carte da scopa (40 carte), si estrae una carta.

  1. Che probabilità c'è che sia un "re"?
  2. Se vengo a sapere che la carta estratta è una figura, che valutazione darò della probabilità che si tratti di un “re”?

 

2)  

Si estraggono, successivamente, e senza reimbussolamento, 2 palline da un'urna che contiene 3 Nere e 2 Rosse.

  1. Se la prima estratta è R, che probabilità sussiste che la seconda sia pure R?
  2. Prima di estrarre la prima pallina, come avremmo valutato la probabilità che, alla fine della prova, la seconda estratta risultasse una Rossa?

 

3)  

Si lancia un dado due volte.

  1. Qual è la probabilità che la somma dei punti fatti sia maggiore di 10, ammesso che uno di questi punti sia 6?
  2. Qual è la probabilità che la somma dei punti fatti sia maggiore di 10, ammesso che il punto ottenuto col primo lancio sia 6?
  3. Qual è la probabilità che la somma dei punti fatti sia maggiore di 10, ammesso che il punto ottenuto col secondo lancio sia 6?

 

4) 

In una certa gara le probabilità di vincere dei quattro concorrenti A, B, C, D sono state valutate rispettivamente in: 0,1 ; 0,2 ; 0,3 ; 0,4

(Qui sconfiniamo piuttosto in una concezione "soggettivistica" della probabilità: è ovvio che non si sono considerati "casi favorevoli" e "casi possibili", ma si è cercato di quantificare, con ragionamenti e confronti, le possibilità di ciascun concorrente di vincere quella gara.

Insomma, si è concluso che le capacità e le condizioni fisiche e psicologiche dei concorrenti sembrano tali da equiparare la gara ad un'estrazione di una pallina da un'urna contenente 10 palline, di cui 1 reca il simbolo "A", 2 recano il simbolo "B", 3 il simbolo "C" e 4 il simbolo "D".

Ora, se il concorrente D si ritira, come verranno ricalcolate le probabilità di A, B, C?

 

5)        

(Questo non è facile! Bisogna riflettere bene)

Se lancio 10 monete finché vengano almeno 8 "teste" (cioè: annullo il lancio e lo ripeto se non sono uscite almeno 8 "teste"), che probabilità ho di ottenere "testa" su tutte e 10 le monete?

 

6)

Immagina di lanciare tre volte una moneta e considera gli eventi:

A = "si presenta la stessa faccia in tutti e tre i lanci"

B = "si presenta Testa in almeno due lanci"

Dimostrare che A, B sono due eventi stocasticamente indipendenti.

 

Risposte:

1a) p(K=King=re) = 4/40 = 1/10

1b) p(K/F) = 4/12 = 1/3  

2a) p(2a Rossa/1aRossa) = 1/4    

2b) p(2a Rossa) = 2/5.

A questa risposta 2b), oltre che contando il numero dei casi equipossibili (coppie ordinate di palline: 5  4 = 20) e quello dei casi favorevoli (4  2 = 8: Non sei convinto? Fai un diagramma ad albero!), si potrebbe pervenire con estrema semplicità nel modo seguente.

Possiamo pensare di chiudere gli occhi e pescare, anziché 2 soltanto, tutte e 5 le palline, una dopo l’altra, disponendole in fila. Evidentemente, la probabilità richiesta dal quesito 2b coincide con la probabilità che la seconda pallina della fila sia una Rossa. Ma non c’è motivo per cui tale probabilità differisca dalla probabilità di trovare una Rossa in un posto prefissato qualsiasi, ad esempio il 1° posto.

E tale probabilità è, evidentemente, 2/5.

3a) 3/11

3b) 1/3

3c) 1/3)

4)

Probabilisticamente, è esattamente come avere 10 palline, 1 delle quali reca il simbolo “A”, 2 delle quali “B”, 3 delle quali “C”, mentre le rimanenti 4 palline portano il simbolo “D”.

Ora, se le 4 palline recanti “D” vengono eliminate restano le rimanenti 6 palline …

Le probabilità richieste sono: probabilità 1/6 per la vittoria di A, 2/6 per la vittoria di B e 3/6 per la vittoria di C.

Possiamo anche scrivere così:

 

5)

I casi possibili sono tanti quante le sequenze di 10 lanci, 8 almeno dei quali siano “Teste”.

Possiamo effettuare una partizione dell’insieme dei casi possibili, distinguendo fra:

esattamente 8 teste:  = 45 casi

esattamente 9 teste:  casi

esattamente 10 teste: 1 caso solo.

 

Perciò i casi possibili sono in totale 45+10+1=56.

Si ha 1 solo caso favorevole.

La probabilità richiesta è perciò 1/56.

(Non ti scoraggiare se hai sbagliato. E’ un problema molto insidioso, e moltissimi, in effetti, rispondono male, fornendo una probabilità molto più alta).

6)

La nostra tesi è: p(A/B)=p(A) o, indifferentemente, p(B/A)=p(B).

·         p(A/B)=p(“stessa faccia in tutti e 3”/”testa in almeno 2”).Ora, l’ipotesi che esca Testa in almeno 2 lanci ci porta all’insieme universo “ristretto” {TTT, TTC, TCT, CTT} nell’ambito del quale l’evento “stessa faccia in tutti e 3” si verifica nel solo caso TTT. Perciò p(A/B)=1/4

·         Calcoliamo ora p(A). n° casi possibili=23=8; n° casi favorevoli=2; quindi p(A)=2/8=1/4.

Ma allora p(A/B)=p(A)=1/4 e la tesi è dimostrata.