6.2      Teorema sulla “probabilità dell’evento intersezione”

(detto “teorema delle probabilità composte”)

 

Sia U l’insieme universo dei casi equipossibili, e siano   

Avremo

 

 

E in modo del tutto analogo si potrebbe ottenere

 

 

Resta così dimostrato il notevole

 

TEOREMA DELLE PROBABILITA’ COMPOSTE:   oppure       Se A, B sono stocasticamente indipendenti la formula diventa semplicemente   TEOR. DELLE PROBABILITA’ COMPOSTE PER EVENTI INDIPENDENTI

 

q       Esempio:

Due macchine M1 ed M2 di un'officina producono complessivamente 200 copie all’ora di un certo articolo.

La macchina M1 è più veloce perché produce 150 pezzi all’ora, ma di questi mediamente il  12% è di scarto; la produzione della M2 è invece soltanto di 50 pezzi all'ora, ma lo scarto è irrisorio: solo il 3%.

I  pezzi prodotti vengono immagazzinati tutti insieme, cosicché non è possibile stabilire quali provengano dalla M1 e quali dalla M2.

Se si preleva un pezzo a caso dal magazzino, qual è la probabilità che provenga dalla macchina M2 e sia di scarto?

 

• Primo modo di risolvere (col teorema delle probabilità composte):

Poniamo

M2 = "il pezzo prelevato proviene dalla macchina M2 “

S = "il pezzo prelevato è di scarto"

Avremo:   

·         Secondo modo di risolvere (senza applicare teoremi, con una semplice visione “frequentista”): dopo 100 ore di produzione, la situazione del magazzino sarà quella illustrata nel diagramma di Venn qui a fianco riportato. Dal diagramma si ha subito
Una CONSEGUENZA IMPORTANTE DEL TEOREMA DELLE PROBABILITA’ COMPOSTE è:   oppure

 

Constateremo successivamente l’importanza che l’ultima formula scritta assume nella risoluzione di alcuni problemi.