6.3  Teorema sulla “probabilità dell’evento contrario”

 

Sia U l’insieme universo dei casi equipossibili, e sia   

 

Utilizzando il simbolo di “soprallineatura” che, com’è noto, può essere impiegato coi due significati (strettamente correlati) di

• NEGAZIONE (in Logica)
• COMPLEMENTAZIONE (in Teoria degli Insiemi)

possiamo indicare con  l’evento contrario dell’evento A (ossia quell’evento che si verifica se e solo se NON si verifica A).

La scrittura  verrà letta “non A” se interpretata dal punto di vista logico,

mentre verrà letta “il complementare di A” (ma si può dire tranquillamente “non A” pure in questo caso) se interpretata in chiave insiemistica.

Abbiamo

 

e resta così dimostrato un enunciato semplice ma spesso estremamente utili negli esercizi, ovvero il:

 

TEOREMA SULLA PROBABILITA’ DELL’EVENTO CONTRARIO:   o in alternativa

 

q       Esempio

Si lancia successivamente per 10 volte una moneta, e si vuole sapere la probabilità che esca almeno una volta "testa".

 

Questo problema si risolve molto più agevolmente se si considera l' "evento contrario": "non esce mai testa", ossia: "esce sempre croce".

E' molto facile stabilire la probabilità di questo evento contrario:

c'è un unico caso favorevole: (C, C, C, C, C, C, C, C, C, C) sui 2¹⁰ = 1024 casi possibili.

Quindi avremo

p(“esce sempre Croce”) = 1/1024

da cui, in virtù del teorema sopra dimostrato,

p("esce almeno una volta Testa") = 1 - p("esce sempre Croce") = 1 - 1/1024  = 1023/1024

 

IDEA-GUIDA In generale, in moltissimi quesiti di CdP in cui compare la parola “almeno”, è conveniente passare all’evento contrario.

 

La parola “almeno” è una “parola-spia” in CdP: essa ci deve sempre indurre a riflettere se sia conveniente utilizzare il Teorema dell'Evento Contrario… e quasi sempre la convenienza c'è.