Cap. 7.  EVENTI A DUE (O PIU’) FASI

 

7.1  Il Teorema relativo agli “eventi a due fasi”.

 

q       Esempio

Lancio un dado. Se esce 1 pesco una pallina da un'urna U1 che contiene 3 palline Nere e 2 Rosse. Se esce un numero diverso da 1 pesco invece da un'urna U2 contenente 2 palline Verdi e 1 Rossa.

Si chiede: con una "prova" di questo tipo, qual è la probabilità di estrarre una pallina

a.       Nera

b.      Rossa

c.       Verde

 

La difficoltà di questo problema sta nel fatto che i casi

 

(1, N1)

(1, N2)

(1, N3)

(1, R1)

(1, R2)

(1 , V1)

(1 , V2)

(1 , R3)

dove abbiamo indicato con 1 l’uscita di un numero diverso da 1,

NON sono equipossibili !!! 

 

Viene subito in mente di passare al nuovo insieme di casi

(1, N1)

(1, N2)

(1, N3)

(1, R1)

(1, R2)

(2 , V1)

(2 , V2)

(2 , R3)

(3 , V1)

(3 , V2)

(3 , R3)

(4 , V1)

(4 , V2)

(4 , R3)

(5 , V1)

(5 , V2)

(5 , R3)

(6 , V1)

(6 , V2)

(6 , R3)

 

ma nemmeno questi sarebbero equipossibili !!!

 

Riusciamo però a ottenere un “set” di casi equipossibili se applichiamo il seguente artificio:

 

supponiamo di avere, nell’urna U1, 15 palline anziché 5: 9 Nere, 6 Rosse.

e nell’urna U2, 15 palline anziché 3: 10 Verdi, 5 Rosse.

La nuova prova sarà probabilisticamente equivalente alla precedente (giusto? ne sei convinto?)

ma questa volta i casi (i  6 * 15 = 90 casi ! ) saranno tutti equipossibili !!!

 

Avremo dunque

 

p(N) = 9/90 = 1/10

p(R) = 31/90

p(V) =  50/90 = 5/9

 

cosicché, osservando il seguente diagramma, siamo condotti ad una scoperta assai interessante:

 

 

Insomma, per quanto riguarda la prova aleatoria a due fasi da noi considerata,

la probabilità di percorrere un “cammino”

(pensiamo ad esempio al cammino “1 dal dado E POI pallina Nera dall’urna”)

risulta calcolabile mediante un prodotto di due probabilità:

le probabilità dei singoli segmenti che costituiscono il cammino

 

Osserviamo che la seconda di queste due probabilità è una probabilità “condizionata”

(ad esempio, il fattore 2/5 che compare nel diagramma è la

“probabilità che esca Rossa dall’urna, SUPPOSTO CHE fosse uscito 1 dal lancio del dado).

 

In effetti è possibile dimostrare che questo fatto è di validità del tutto generale, ossia che sussiste il seguente Teorema:

 

TEOREMA SULLA PROBABILITA' DI UN EVENTO, COSTITUITO DALLA SUCCESSIONE O DALL'ABBINAMENTO DI DUE "EVENTI PARZIALI" (IN BREVE: PROBABILITA' DI UN "EVENTO A DUE FASI")   Se una prova aleatoria si articola in due parti o fasi, cosicché l'evento di cui vogliamo valutare la probabilità si possa pensare costituito dalla successione, o comunque dall'abbinamento, di due "eventi parziali" A, B (evento “A e poi B”), allora: cioè: la probabilità di “A e poi B” è uguale al prodotto della probabilità di A per la probabilità di B, supposto che si sia verificato A.

 

La dim. generale di questo enunciato, che è riportata più avanti, consiste nella generalizzazione di quanto fatto in relazione all’esempio introduttivo, che ha portato alla “scoperta” del Teorema.

 

Nel caso A, B siano stocasticamente indipendenti, cioè tali che il verificarsi dell'uno non modifichi la probabilità del verificarsi dell'altro, allora