7.2  Dimostrazione del Teorema sugli “eventi a due fasi”.

 

Il procedimento dimostrativo consiste nella generalizzazione di quanto fatto nell’es. introduttivo:

passaggio ad una prova modificata, probabilisticamente equivalente a quella di partenza, con lo scopo di ricondursi ad un insieme di casi tutti equipossibili.

 

Il grafo sottostante mostra la struttura di un generico esperimento a due fasi; A, A’, B, C, D, E, F rappresentano generici eventi.

Di ciascun evento è specificata la probabilità (eventualmente, "probabilità condizionata"); insomma, il grafo si spiega da solo.

Per semplicità, ho supposto che si abbiano due esiti possibili per la prima fase (o "prima prova parziale") e tre esiti possibili per la seconda fase (= "seconda prova parziale").

E' chiaro però che la dimostrazione sarebbe facilmente generalizzabile a situazioni diverse, comunque complicate.

Il fatto che le probabilità p(A) e p(A’ ) siano espresse da due frazioni con lo stesso denominatore n non è restrittivo, voglio dire: non riflette un caso particolare, perchè comunque, se i due denominatori di p(A) e p(A’) fossero diversi, io potrei sempre ridurre tali due frazioni al minimo comun denominatore.

Analogo discorso vale per le cinque probabilità p(B/A), p(C/A), p(D/A’ ), p(E/A’ ), p(F/A’ ): le suppongo espresse da cinque frazioni con lo stesso denominatore m (se così non fosse, potrei sempre ricondurmi a questa situazione portando le cinque frazioni al m.c.d).

Osserviamo che, per ovvi motivi, i numeri interi a, a’, b, c, d, e, f sono tali da realizzare le uguaglianze

a+a’=n, b+c=m, d+e+f=m.

 

Si tratta dunque di dimostrare che  

 

 

Poichè gli esiti possibili della prima fase sono: A con probabilità a/n e A’ con probabilità a’/n, possiamo concepire la prima fase come estrazione di una pallina da un'urna contenente n palline, su a delle quali ci sia la scritta "A" e sulle rimanenti a’ la scritta " A’ ".

E analogamente per la seconda fase.

 

Quindi la nostra "prova a due fasi" potrà, in definitiva, essere considerata equivalente, dal punto di vista delle valutazioni di probabilità, alla prova descritta come segue:

• Si estrae una pallina da un'urna contenente n=a+a’  palline, su a delle quali compare la scritta "A" mentre sulle rimanenti a’ palline compare la scritta "A’ ".
• Se l'esito di questa estrazione è "A", allora si pesca da un'urna con la seguente composizione:
• m palline in totale;
• b palline con la scritta "B",
• c palline con la scritta "C".

• Se invece l’esito della prima estrazione è "A’ ", allora si va a pescare da un'urna diversa, contenente:
• m palline in totale;
• d palline con la scritta "D",
• e palline con la scritta "E"
• f palline con la scritta “F”.

(Sei convinto del fatto che la prova originaria e la "prova modificata", quella con le urne e le palline, sono probabilisticamente equivalenti?  Solo se la tua risposta è affermativa puoi accettare il presente procedimento  dimostrativo...)

 

Dunque:

i casi possibili sono

 

Essi appaiono tutti equipossibili (ne sei convinto?)

i casi favorevoli al verificarsi dell'evento “A e poi B” sono ab.

La probabilità dell'evento “A e poi B” è data dal rapporto n° casi favorevoli/n° casi possibili,

quindi

 

 

come volevasi dimostrare.