7.3  “Regola della somma”; generalizzazione a più di due fasi

 

A questo punto è immediato dimostrare anche la seguente REGOLA DELLA SOMMA PER LE PROVE A DUE FASI: in una "prova a due fasi", la probabilità dell'evento che si verifica se e solo se si verifica l’uno o l’altro di due eventi incompatibili è la somma delle rispettive probabilità.

 

Questa dimostrazione consiste, è chiaro, in una ovvia integrazione del procedimento dimostrativo precedente, con una nuova “conta” dei casi favorevoli.

 

La tesi può essere, ad esempio:

 

p(“A e poi B”  vel  “A’ e poi F”) = p(A e poi B) + p(A’ e poi F)

 

NOTA sulla “regola della somma”  

Osserviamo che un enunciato analogo a questa “regola della somma” era stato stabilito già in precedenza (teorema sulla probabilità dell’evento unione, o “teorema delle probabilità totali”); tuttavia, in quella circostanza si faceva riferimento ad uno spazio di eventi elementari equipossibili, mentre nelle "prove a due fasi" di cui ci stiamo occupando al presente, non abbiamo più questo requisito, che si recupera soltanto nel momento in cui si sostituisce la "prova originaria" con la corrispondente "prova modificata".

Di qui l'esigenza di una dimostrazione autonoma.

Questa, tuttavia, come abbiamo visto, non presenta nessuna difficoltà; basta ricorrere, appunto, alla solita "prova modificata".

 

Come esempio di applicazione di questa "regola della somma", riferiamoci ancora all’esempio del dado e dell’urna.

Se venisse richiesta la "probabilità di estrarre una pallina Rossa", questa potrebbe essere calcolata come

p(1 e poi R) + p(1 e poi R) = 1/62/5+5/61/3=1/15+5/18=31/90

 

GENERALIZZAZIONE A PIU’ DI DUE FASI Il teorema sugli eventi a due fasi si può facilmente generalizzare al caso di eventi "a più fasi":   E’ altresì del tutto evidente che la “regola della somma” continua a valere anche nel caso in cui le fasi siano più di due

 

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