9.  ESERCIZI SVOLTI

 

9.1  Esercizio 1

La probabilità che un tiratore A colpisca il bersaglio è 1/2, la probabilità che lo colpisca B è 1/5.

Se A e B sparano contemporaneamente contro il bersaglio, che probabilità c’è che questo venga colpito?

 

Risoluzione:

 

 … dato che A, B sono indipendenti e quindi p(B/A)=p(B) …

.

Per inquadrare il problema in modo da sentirci effettivamente autorizzati ad applicare i Teoremi studiati, possiamo pensare che mediamente ogni 1000 prove (dove per “prova” devo intendere “doppio tiro”), 500 volte colpisca il bersaglio A, 200 volte B. Supponiamo che qualcuno registri gli esiti di questi 1000 “doppi tiri” e scriva ogni singolo esito (che potrà essere: “Nessuno”;  “solo A”; “solo B”; “sia A che B”) su di un bigliettino: si avranno quindi 1000 bigliettini. Pescando un bigliettino a caso, ci chiediamo che probabilità c’è di trovarvi scritto almeno uno dei due nomi A o B.

Tracciamo un diagramma di Venn che rappresenti questo insieme di 1000 bigliettini con i suoi sottoinsiemi:

comprenderemo in modo realmente efficace la situazione probabilistica considerata. Dunque:

 

E’ evidente che abbiamo posto circa 500 bigliettini nell’insieme A, per il fatto che il tiratore A fa centro con probabilità 1/2, quindi su 1000 tiri ne azzeccherà pressappoco 500.

Analogamente è immediato comprendere come l’insieme B debba avere (all’incirca)  elementi. Potrai chiederti invece come mai abbiamo collocato proprio 100 bigliettini in .

 

Se ti rispondessi che questo viene dalla relazione

 

la quale poi, data l’indipendenza stocastica fra gli eventi A e B (supponiamo che le prestazioni di un tiratore non influenzino quelle dell’altro), diventa

,

non sarei, immagino, molto convincente.

 

Allora rifletti su questo fatto:

il tiratore A va a segno mediamente 1 volta su 2, giusto?

Bene! Consideriamo esclusivamente quei circa 200 tiri in cui è andato a segno B.

Su questi circa 200 tiri, i centri di A saranno circa 100.

Quindi A e B fanno centro entrambi simultaneamente per circa 100 volte.

D’altronde, se, simmetricamente, noi confiniamo la nostra attenzione esclusivamente sui (circa) 500 tiri azzeccati in totale da A, cosa possiamo dire riguardo alla prestazione di B nell’ambito di questi 500 tiri?

Sappiamo che B, quando tira, ci azzecca in media 1 volte su 5, quindi, sui 500 tiri considerati, avrà fatto centro pressappoco 1/5 * 500 = 100 volte.

Ritroviamo così una conferma che effettivamente

  (più correttamente: circa 100)

 

I rimanenti numeri che figurano nel diagramma di Venn sono stati poi ricavati per differenza:

 

 

A questo punto, la semplice osservazione del diagramma consente di calcolare, con visione “frequentista”,

la probabilità richiesta: