9.16  Esercizio 16 (il poker)

 

Calcolare la probabilità, per un giocatore di poker, di trovarsi servito in mano :

Un “poker”

Un “full”

Un “tris” (si intende: né più né meno che un tris, quindi non un full o un poker)

 

Una sommaria descrizione del gioco del poker.

Il mazzo da poker è costituito da 32 carte:

4 assi (di cuori, di quadri, fiori, di picche: Come Quando Fuori Piove),

4 re, 4 donne, 4 fanti, 4 dieci, 4 nove, 4 otto e 4 sette.

 

	A	K	Q	J	10	9	8	7
Cuori
Quadri
Fiori
Picche

 

Dopo aver mischiato, si distribuiscono 5 carte a ciascun giocatore.

Non conta, ai fini del gioco, l’ordine con cui il giocatore riceve le sue 5 carte.

-          Un giocatore ha in mano un “tris” se le sue carte sono: 3 di un tipo e 2 di tipi diversi, fra loro e dal tipo precedente: ad esempio, 3 re, 1 nove e 1 asso costituiscono un “tris”.

-          Un giocatore ha in mano un “poker” se fra le sue carte ci sono tutte quelle di un “tipo” (più una quinta carta qualsiasi); ad esempio, 4 donne e 1 sette costituiscono un “poker”.

-          Un giocatore ha in mano un “full” se le sue carte sono: 3 di un “tipo” e 2 di un altro “tipo”;

ad esempio, 3 re e 2 assi formano un “full” (detto “full di re con gli assi”),

così pure 3 assi e 2 re (“full di assi coi re”), o 3 sette e 2 donne…

 

Risoluzione

Qui conviene senz’altro andare a contare il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili, coi metodi noti dal Calcolo Combinatorio.

Innanzitutto:

 

 

1)

 

Commento: 

 si deve al fatto che per “costruire” un poker, io ho a disposizione innanzitutto un ventaglio di 8 scelte (poker di A, di K, di Q, di J, di 10, di 9, di 8, di 7) e per ciascuna di queste 8 scelte mi si apre un ventaglio di 28 scelte perché per completare la cinquina di carte posso utilizzare una qualsiasi delle 32 - 4  = 28 carte rimanenti.

 

2)

 

Commento:

Il numeratore conta il numero di cinquine non ordinate, costruibili utilizzando

• 3 carte tutte di un “tipo”

(che chiameremo “il tipo A”, ossia “il tipo delle 3”)

• insieme con 2 carte entrambe di un altro “tipo”

che chiameremo il “tipo B”, ossia il “tipo delle 2”).

In quanti modi posso costruire cinquine siffatte?

• Scelgo prima di che tipo devono essere “le 3”: ho 8 possibilità di scelta;
• scelgo ora di che tipo devono essere “le 2”: per ciascuna delle 8 possibilità precedenti, mi si apre un ventaglio di 7 possibilità di scelta;

ora, per ciascuna delle  possibili scelte dei due “tipi”, mi si apre un ventaglio ulteriore, perché:

• devo scegliere QUALI 3 carte utilizzare fra le 4 disponibili del “tipo A”:
  
   modi;
• devo scegliere QUALI 2 carte utilizzare fra le 4 disponibili del “tipo B”:
  
   modi.

Di qui il calcolo.

 

3)

  

oppure:     p(tris)= p(esattamente 3 carte dello stesso tipo) - p(full)=

    

                                            

 

Proposta di approfondimento:

calcolare le probabilità delle altre “combinazioni”del poker.

Per chi non è abituato a giocare (bene! Ci sono tante cose molto più interessanti nella vita), riporto qui di seguito la loro descrizione.

Dopo aver calcolato le varie probabilità, sarà evidente il motivo per cui l’ordine convenzionale di “importanza” delle “combinazioni” è, nel poker:

SCALA REALE;

POKER;

COLORE;

FULL;

SCALA;

TRIS;

DOPPIA COPPIA;

COPPIA.

Una “combinazione” è riconosciuta tanto più “importante” nel gioco (e, quindi, considerata vincente su una di “importanza” inferiore) quanto meno è probabile.

 

IL COLORE

Al poker, si dice che si è fatto “colore” se le 5 carte in mano sono tutte dello stesso “seme”:

tutte Cuori, o tutte Quadri, o tutte Fiori, o tutte Picche.

 

LA SCALA

Si dice che si è fatta “scala” se le carte sono tutte “consecutive”.

Ad esempio,

Re di Cuori, Donna di Fiori, Fante di Fiori, 10 di Picche, 9 di Cuori

costituiscono  una “scala”.

Tieni sempre presente che non conta l’ordine in cui le carte vengono consegnate o considerate:

quindi se tu, per esempio, ricevi dal mazziere, nell’ordine:

una Donna di Fiori, un  9 di Cuori,  un Fante di Fiori, un Re di Cuori, un 10 di Picche,

hai sempre, né più né meno, la stessa “scala” considerata prima.

Hai “scala” per il fatto che l’ordine di “importanza” delle carte è:

A  K  Q  J  10  9  8  7

e tu ti ritrovi in mano

K  Q  J  10  9 

che è, appunto, una « consecutività ».

C’è però da tener presente che anche

10  9  8  7  A

è considerata “scala” (per una questione di “circolarità”)

 

Quindi le possibili “scale” sono, in definitiva,

A  K  Q  J  10

K  Q  J  10  9

Q  J  10  9  8

J  10  9  8  7

10  9  8  7 A

 

LA “SCALA REALE”

Una “scala” che sia anche un “colore” (carte tutte dello stesso seme, quindi)

Costituisce una cosiddetta “scala reale”, la cui probabilità è bassissima.

 

LA “DOPPIA COPPIA”

Ad esempio, due Re, due Sette, e un Nove, costituiscono una “doppia coppia”

(“Doppia al Re coi Sette”.

 

LA “COPPIA”

E’ una cinquina costituita da 2 carte di uno stesso “tipo”, insieme con 3 carte di tipi diversi, fra loro e dal precedente.

Ad esempio,

due Assi, una Donna, un Otto e un Fante costituiscono una “coppia di Assi”