9.20  Esercizio 20

 

a)      Lanciando un dado 5 volte di seguito, che probabilità c’è che esca PER ESATTAMENTE 3 VOLTE la faccia “1”?

 

b)      Generalizzazione: il “Problema delle Prove Ripetute”.

 

Risoluzione di a)

 

L’evento

 

“lanciando 5 volte un dado, esce PER ESATTAMENTE 3 VOLTE la faccia 1”

 

può verificarsi in molte modalità diverse:

 

·         ad esempio, si verifica qualora “1” esca ai primi 3 lanci, e poi non esca più ai successivi 2 lanci;

·         oppure, si verifica qualora “1” esca esclusivamente agli ultimi 3 lanci (ma non esca ai primi 2);

·         oppure ancora, si verifica qualora “1” esca al secondo, al terzo e al quinto lancio, ma non agli altri lanci;

·         ecc. ecc.

 

Fissiamo la nostra attenzione su UNA di queste modalità.

 

Ad esempio, cominciamo col chiederci:

 

·         lanciando un dado 5 volte di seguito, che probabilità c’è che la faccia “1” esca ai primi 3 lanci (e poi non esca più)?

 

Facile rispondere: pensando all’ “evento a più fasi” e tenendo conto del fatto che l’esito di un lancio non è condizionato in alcun modo dall’esito del lancio precedente, abbiamo:

 

Consideriamo ora UN’ALTRA fra le possibili modalità.

 

Ad esempio,

·         lanciando un dado 5 volte di seguito, che probabilità c’è che la faccia “1” esca esclusivamente agli ultimi 3 lanci (ma non esca ai primi 2)?

Avremo

 

E pensiamo ancora ad UN’ALTRA modalità.

·         Lanciando un dado 5 volte di seguito, che probabilità c’è che “1” esca al secondo, al terzo e al quinto lancio, ma non agli altri lanci?

 

Abbiamo perfettamente capito, a questo punto, che CIASCUNA delle tante modalità con cui l’evento

“esce PER ESATTAMENTE 3 VOLTE la faccia 1”

si può verificare, ha probabilità data dal prodotto

 

Ora, in virtù del teorema sulle probabilità totali per eventi indipendenti, abbiamo:

 

 

Per calcolare la probabilità cercata, dobbiamo dunque sommare tanti addendi, ciascuno uguale a .

La questione è: QUANTI SONO questi addendi?

 

Beh … sono TANTI QUANTE LE MODALITA’ CON CUI L’EVENTO

“esce per esattamente 3 volte la faccia 1”

SI PUO’ PRESENTARE.

 

E l’evento “esce per esattamente 3 volte la faccia 1” si può presentare in tante modalità, quanti sono i modi in cui, sui 5 lanci, possiamo fissare quei 3 nei quali immaginiamo esca “1”.

 

Ora, è ben noto che fra 5 oggetti (nel nostro caso: i 5 lanci) noi ne possiamo selezionare 3 (nel nostro caso: quei 3 lanci nei quali immaginiamo esca “1”) in  modi.

Ricordiamo infatti che il coefficiente binomiale  è quel numero che risponde alla domanda:

“dati n oggetti, in quanti modi se ne possono scegliere k?”

 

Dunque avremo:

 

 

Generalizzazione

 

Generalizzando, possiamo enunciare e risolvere, in astratto, il

 

“PROBLEMA DELLE PROVE RIPETUTE”   Consideriamo un evento elementare (nell’esempio: l’uscita della faccia “1” dal lancio di un dado)  che abbia una data probabilità p di verificarsi IN UNA SINGOLA PROVA (nel nostro es., era  p=1/6). Ci chiediamo: se si effettuano n prove, che probabilità c’è che quell’evento si verifichi per esattamente k volte (  ) ? Risposta: la probabilità cercata è data da   avendo posto, per comodità,

 

Se andiamo adesso a rivisitare il problema 13), scopriremo che può anche essere risolto, volendo, con l’appena stabilita “formula delle prove ripetute”:

 

In una famiglia con quattro figli, che probabilità sussiste che i maschi siano esattamente due?

 

In una singola “prova”, abbiamo:

p(maschio)=1/2.

Allora, effettuando 4 “prove”, avremo: