9.22  Esercizio 22

 

In una lotteria, è vincente un biglietto su n.

Io acquisto esattamente n biglietti e mi domando qual è la probabilità che fra i miei biglietti ce ne sia almeno 1 vincente.

 

Risoluzione (e interpretazione!)

 

p(almeno un vincente) = 1  p(nessun vincente) = 1  p (tutti perdenti) = 1  p₀

 

Calcoliamo ora p₀ = p(tutti perdenti).

 

Possiamo pensare di guardare i nostri n biglietti uno dopo l’altro, in successione

(guardo il primo biglietto,  POI guardo il secondo, … , POI guardo l’ n-esimo)

La probabilità che il primo biglietto sia perdente è

.

La probabilità che il secondo biglietto sia perdente, supposto che il primo fosse perdente, è … ???

Calma, fermiamoci un attimo a riflettere.

 

Supponiamo che il primo biglietto aperto sia perdente.

Ora, è chiaro che ciò aumenta leggermente la probabilità che il successivo biglietto che apriremo sia vincente.

Per forza! C’è un biglietto perdente in meno in circolazione

(per intenderci: userò la sigla “in circolazione” per riferirmi  all’insieme di tutti i biglietti, tranne quelli che ho già aperto; quindi , in questo caso, tranne quell’unico che ho già aperto);

perciò aumenta la “densità” dei biglietti vincenti nell’ambito dei biglietti in circolazione.

 

Dunque: fra i biglietti in circolazione, ce n’è ora 1 in meno; e sappiamo pure che c’è, fra questi biglietti rimasti in circolazione, 1 biglietto perdente in meno.

Abbiamo bisogno di usare dei simboli per meglio fissare le idee.

Indichiamo quindi con k il numero di biglietti vincenti.

Poiché l’enunciato del problema ci dice che si ha un biglietto vincente su n (un biglietto vincente ogni n biglietti), avremo che il totale dei biglietti stampati sarà kn; il totale dei perdenti, kn-k=k(n-1).

Ora, se il primo biglietto che abbiamo aperto risulta perdente, la probabilità che sia perdente anche il secondo diventa

 

Nell’ipotesi poi che i primi 2 biglietti da noi aperti risultino perdenti, la probabilità che sia perdente anche il terzo sarà

 

Avremo perciò

 

Mamma mia!

 

Come faremo a svolgere questo calcolo?

 

Incominciamo a sospettare che l’esercizio NON POSSA essere così impegnativo.

mumble … mumble … IDEA!

 

In una lotteria, i biglietti in circolazione di solito sono TANTISSIMI.

Quindi, possiamo pensare che il fattore k sia molto, molto grande

(es. 1 biglietto vincente su 10, ma i biglietti stampati sono 1.000.000).

Ora, se le cose stanno così, il fatto di sapere che c’è un biglietto perdente in meno in circolazione, non modifica sensibilmente la probabilità che preso un secondo biglietto, anch’esso risulti perdente.

 

Ne sei convinto? Psst … ascolta un attimo questo paragone:

• Le statistiche dicono che, fra le ragazze che frequentano le discoteche, il 42% sono fumatrici.

Tu, giustamente, preferisci le ragazze NON fumatrici, ma una sera, mentre sei in vacanza a Rimini, conosci in discoteca una ragazza che ad un certo punto estrae dalla tasca il pacchetto di sigarette. Sigh!

La sera dopo, torni in discoteca e vai all’abbordaggio di un’altra.

Ti sembra che la probabilità che questa nuova conoscenza sia o non sia fumatrice sia cambiata, per il fatto che la sera prima avevi conosciuto una fumatrice?

No! La probabilità non “praticamente” cambiata.

Tu, da buon matematico, preferisci dire: è cambiata, ma … IMPERCETTIBILMENTE!!!

• Confronta la precedente situazione balneare con quest’altra.

Vai in ferie in un paesino di montagna, e c’è poco da scegliere: ci sono solo 4 ragazze “di età adeguata”!

Gli abitanti lel luogo ti hanno però fatto sapere che 2 di esse (ma non ti hanno detto quali) hanno già il moroso, le altre 2 sono libere. Conosciuta una delle 4 ragazze, questa a un certo punto confida di essere fidanzata.

La sera dopo, la tua probabilità di beccare, fra le 3 rimanenti, una ragazza libera, è DECISAMENTE AUMENTATA!

 

Questo accostamento di esempi ti avrà fatto riflettere sulla diversità, in circostanze come quelle esaminate, fra “grandi numeri” e “piccoli numeri”.

Adesso ritorniamo al nostro problema della lotteria ed analizziamo questa “diversità” da un punto di vista squisitamente matematico.

E’ vero che se il primo biglietto (che aveva probabilità    di essere perdente)

risulta effettivamente perdente, la probabilità che sia perdente anche il secondo biglietto si abbassa a

.

Ma e anche vero che, se k è molto grande, si ha

   

in quanto la frazione  1/kn  è, se k è molto grande, prossima a zero.

 

Sembra allora plausibile di dover interpretare il problema in questo modo:

• I biglietti emessi sono tantissimi;
• fra essi, 1 su n è vincente;
• insomma, sono stati stampati kn biglietti, fra i quali k vincenti, e k è molto grande.
• Perciò, se noi abbiamo aperto un biglietto e abbiamo constatato che è perdente, la probabilità che sia perdente anche il secondo che apriremo resta pressoché invariata, e può essere ancora stimata in 
  
  .

In questa interpretazione, avremo

 

ovvero

 

Siamo a questo punto “invogliati” a spezzare la frazione, ottenendo

 

perché poi è curioso constatare che

 

In definitiva, p(almeno un vincente)  

e abbiamo inoltre scoperto che