9.6  Esercizio 6

 

Da un'urna contenente 7 palline numerate 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 si estraggono, UNA DOPO L’ALTRA E CON REIMBUSSOLAMENTO, due palline. Calcolare la probabilità che portino entrambe un numero pari,

a)       mediante il rapporto  n° casi favorevoli/n° casi possibili

b)      interpretando la "prova" come un "evento a due fasi" ed applicando il teorema relativo.

c)   Sarebbe possibile, in questo caso, ragionare in termini di coppie non ordinate?

 

Risoluzione:

 

a)       Questa volta, per via del reimbussolamento, i casi possibili sono 7 * 7 = 49.

E i casi favorevoli all’uscita di una coppia di numeri pari sono 3 * 3 = 9.

La probabilità cercata è perciò 9/49.

 

b)       Interpretando la prova come un evento a due fasi, avremo:

p(entrambe pari) = p (“1^a pari”  e poi  “2^a pari “) = p(1^a pari) * p(2^a pari”/“1^a pari) =

= 3/7 * 3/7 = 9/49.

Osserviamo che in questo caso

p(“2^a pari”/“1^a pari) = p(“2^a pari”)

perché i due eventi sono indipendenti.

 

c)       Assolutamente no.

A parte il fatto che comunque l’enunciato del problema invita a pensare ad una successione temporale, ragionare in termini di coppie non ordinate porterebbe qui ad un universo di casi NON EQUIPOSSIBILI!!!

Infatti, ad esempio, i due casi

{1, 1}

e

{1, 2} (l’uso delle graffe indica coppie non ordinate)

NON sono affatto equipossibili in quanto il primo si può verificare solo se la prima pallina estratta porta il numero 1 e la seconda pallina estratta pure (una sola modalità), mentre il secondo si verifica “con più facilità”, in quanto si può verificare tanto se la prima pallina porta “1” e la seconda “2”, quanto se la prima pallina porta “2” e la seconda “ 1” (due modalità).

 

Non sei convinto di questo discorso? Prova ad esempio a pensare di lanciare due volte di seguito una moneta. I casi {T,T} (due teste) {C,C} (due croci) {T, C} (una testa e una croce) NON sono equipossibili! Per persuaderti di questo, mettiti con pazienza a fare una sequenza di 400 doppi lanci (eventualmente, chiedi la collaborazione di qualche amico!): vedrai che il numero di volte in cui esce “doppia testa” si aggirerà intorno alle 100, “doppia croce” pure intorno alle 100,  “una testa e una croce” intorno alle 200 volte. Sono invece equipossibili i casi (coppie ordinate): (T, T) (testa al primo lancio, testa al secondo) (T, C) (testa al primo lancio, croce al secondo) (C, T) (croce al primo lancio, testa al secondo) (C, C) (croce al primo lancio, croce al secondo)